天大2017年12月考试《数值计算方法》离线作业考核试题

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数值计算方法
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一、独立完成，下面五组题目中，请任选其中一组题目作答，满分100分；
二、答题步骤：
1.使用A4纸打印学院指定答题纸（答题纸请详见附件）；
2.在答题纸上使用黑色水笔按题目要求手写作答；答题纸上全部信息要求手写，包括中心、学号、姓名、科目、答题组数等基本信息和答题内容，请写明题型、题号；
三、提交方式：请将作答完成后的整页答题纸以图片形式依次粘贴在一个Word
文档中上传（只粘贴部分内容的图片不给分），图片请保持正向、清晰；
1.上传文件命名为“中心学号姓名科目.doc”
2.文件容量大小：不得超过20MB。
提示：未按要求作答题目的作业及雷同作业，成绩以0分记！
题目如下：
第一组：
一、计算题（共56分）
1、（28分）
设有线性方程组，其中
（1）求分解
（2）求方程组的解
(3)判断矩阵的正定性
2、（28分）
用列主元素消元法求解方程组
二、论述题（共44分）
1、（28分）
已知方程组，其中
（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法的分量形式；
（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快。
2、（16分）
使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？
第二组：
一、综合题（共82分）
1、（28分）
已知下列函数表：
0123
13927
(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；
(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。
2、（24分）
求方程组的最小二乘解
3、（30分）
已知线性方程组
（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；
（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）
二、简述题（共18分）
1.数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？
第三组：
一、计算题（共76分）
1、（22分）用高斯消元法求解下列方程组
2、（31分）
用雅可比方法求矩阵的特征值和特征向量
3、（23分）
求过点（1，2），（10）（3，6），（43）的三次插值多项式
二、简述题（24分）
写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分
第四组：
一、计算题（共48分）
1、（24分）
取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。
2、（24分）
设，求
二、论述题（共52分）
1、（30分）
已知方程组，其中
，
(1)列出Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法的分量形式；
(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。
2、（22分）
数值积分公式，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精度是多少？
第五组：
计算题
1.写出求解线性代数方程组
的GaussSeidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。（28分）
2.
（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange插值多项式；
（2）以0，1，2为求积节点，建立求积分的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。（41分）
3.利用Gauss变换阵，求矩阵的LU分解。（要求写出分解过程）
（31分）

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