17春福师《实变函数》在线作业二答案奥鹏100

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福师《实变函数》在线作业二
试卷总分100  得分0
一、 判断题 (共 37 道试题共 74 分)
1.可积的充分条件若存在g∈L1使得|f|&lt=g.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

2.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A. 错误
B. 正确
满分：2分

3.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A. 错误
B. 正确
满分：2分

4.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

5.函数f在[ab]上为常数的充要条件是f在[ab]上绝对连续且在[ab]上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

6.若fg是增函数，则f+gfgfg也是增函数。
A. 错误
B. 正确
满分：2分

7.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

8.增函数f在[ab]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

9.若|A|=|B||C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

10.f在[ab]上为增函数，则f的导数f∈L1[ab].
A. 错误
B. 正确
满分：2分

11.f可积的充要条件|f|可积。
A. 错误
B. 正确
满分：2分

12.函数f在区间[ab]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[ab]上的不连续点集为零测度集.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

13.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

14.若fg∈AC，则|f|f+ff+gfgf/g(g不为0)f∧gf∨g均属于AC。
A. 错误
B. 正确
满分：2分

15.设f是区间[ab]上的有界实函数，则f在[ab]上R可积，当且仅当f在[ab]上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

16.若fg∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A. 错误
B. 正确
满分：2分

17.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|&gt=n)]之和收敛.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

18.存在[01]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
B. 正确
满分：2分

19.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

20.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

21.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A. 错误
B. 正确
满分：2分

22.设fR&gtR可测，f(x+y)=f(x)+f(y)则f(x)=ax
A. 错误
B. 正确
满分：2分

23.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

24.设f为[ab]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

25.L积分下Newtonleibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A. 错误
B. 正确
满分：2分

26.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A. 错误
B. 正确
满分：2分

27.f可积的充要条件是f+和f都可积.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

28.若fg∈BV，则f+gfgfg均属于BV。
A. 错误
B. 正确
满分：2分

29.不存在这样的函数f：在区间[ab]上增且使得f(x)在[ab]上积分值∫fdx&ltf(b)f(a) .
A. 错误
B. 正确
满分：2分

30.若f∈C1[ab]（连续可微）则f∈Lip[ab]，f∈AC[ab].
A. 错误
B. 正确
满分：2分

31.若对任意有理数rX(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

32.若f∈Lip[ab]则f∈AC[ab].
A. 错误
B. 正确
满分：2分

33.函数f≡C∈[∞∞]则f可测。
A. 错误
B. 正确
满分：2分

34.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

35.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

36.存在某区间[ab]上增函数f，使得f(x)在[ab]上积分值∫fdx&ltf(b)f(a) .
A. 错误
B. 正确
满分：2分

37.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
B. 正确
满分：2分

二、 单选题 (共 5 道试题共 10 分)
1.有限个可数集的乘积集是（ ）
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
满分：2分

2.fn∈L(E)则fn&gt0a.e.是∫Efndx&gt0（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
满分：2分

3.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A. mE=0
B. 0&ltmE&lt+∞
C. mE=+∞
D. 0&lt=mE&lt=+∞
满分：2分

4.设g(x)是[01]上的有界变差函数，则f(x)=sinxV0x(g)是[01]上的
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
满分：2分

5.开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
B. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
满分：2分

三、 多选题 (共 8 道试题共 16 分)
1.f(x)=1x∈(∞，+∞)则f(x)在(∞，+∞)上
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
满分：2分

2.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A. m(A)&ltm(B)
B. m(A)&lt=m(B)
C. m(B\A)=m(A)
D. m(B)=m(A)+m(B\A)
满分：2分

3.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A. fn测度收敛于|f|
B. afn+bgn测度收敛于af+bg
C. (fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
满分：2分

4.若fg是有界变差函数，则（ ）
A. f+g有界变差函数
B. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(fg)有界变差函数
满分：2分

5.若f∈BV[ab]，则（ ）
A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
满分：2分

6.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A. f^1(f（A）)=A
B. f^1(f（A）)包含A
C. f(f^1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
满分：2分

7.设f为[ab]上减函数，则f为（ ）
A. 有界函数
B. 可测函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
满分：2分

8.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
D. f不是可测函数
满分：2分

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