尺度叠加高斯相关模型在GRAPES-RAFS 中的应用

奥鹏网院作业

尺度叠加高斯相关模型在GRAPES-RAFS 中的应用*
庄照荣 李兴良

ZHUANG Zhaorong LI Xingliang

1. 国家气象中心，北京，100081

2. 中国气象局数值预报中心，北京，100081

1. National Meteorological Centre，Beijing 100081，China

2. Numerical Weather Prediction Center of CMA，Beijing 100081，China

摘 要 背景误差水平相关模型影响着分析增量的结构，同时也决定着不同尺度上分析增量信息的多少。为了提高中小尺度系统的分析质量，研究尺度叠加高斯相关模型的特征及其在三维变分同化系统中的应用效果。通过分析高斯模型和尺度叠加高斯模型的空间特征，以及它们的拉普拉斯算子和谱响应函数的特征，同时依据统计的背景误差特征来改进背景误差水平相关模型。通过采用不同相关模型的GRAPES-RAFS 快速分析预报循环批量试验表明：改进的尺度叠加高斯相关模型不仅能增加分析场的中小尺度信息，同时尺度叠加高斯函数描述的风场背景误差相关特征更符合实际统计结果，缓解了原高斯函数方案风场负相关偏大的问题。因而尺度叠加高斯相关模型的应用大幅度提高了分析质量，特别是风场分析质量，同时12 h 内风场预报质量也略有提高，也显著提高了前24 h 各量级降水的ETS 评分，明显缓解了原高斯模型方案的虚警现象。尺度叠加高斯相关模型能明显增加分析的中小尺度信息和更合理地描述风场负相关结构，在三维变分分析中的应用能显著改进分析和降水预报质量。

关键词 水平相关模型， 高斯函数， 尺度叠加的高斯函数， 三维变分， GRAPES-RAFS

1 引 言
随着模式分辨率的提高，区域同化系统需要具有更精细的中小尺度分析能力，既需要使用包含更丰富的局地小尺度信息的高时、空分辨率的观测资料，例如雷达观测，又需要分析框架的背景误差协方差能含有中小尺度特征。变分分析框架的中小尺度分析能力和背景误差协方差的空间相关有关。观测信息在格点空间的传播是通过背景误差空间相关关系传递的，也就是说背景误差空间相关决定着不同尺度上的分析增量分布。

在变分同化系统中使用的背景场误差协方差是高度模型化的，这不仅使同化方案易于实施，也是为了保持背景场误差协方差矩阵的正定性，使极小化过程易收敛。在实际运用中，背景误差水平相关常用高斯（Gauss）和二阶自回归（soar）函数来近似，通过递归滤波来实现相关矩阵和向量的乘积（Vandenberghe，et al，1999；薛 纪 善 等，2008）。Purser 等（ 2003a） 介 绍 了 三 维 变 分 同 化 系 统（3DVar）中应用不同阶的递归滤波技术实现高斯相关模型对背景误差水平相关的描述。在区域GRAPES（Global/Regional Assimilation and Prediction System）的三维变分同化系统（GRAPES-3DVar）中也采用高斯相关（薛纪善等，2008；庄照荣等，2006，2019）。研究（王金成等，2014）表明，高斯相关模型应用于3DVar 会造成不符合实际的较大风场负相关，导致不合理的风场分析增量。二阶自回归型相关函数是Thiebaux（1976）为气候背景场构造的相关模型，在全球GRAPES-3DVar 中也主要采用二阶自回归函数描述背景误差水平相关（王金成等，2014）。

相关研究（Vandenberghe，et al，1999）指出，高斯相关函数在小尺度上的功率谱不足，对小尺度作用不大。比较区域GRAPES-3DVar 的分析增量与同样背景场下的T639 模式的分析增量，在高斯相关模型下GRAPES 风场分析增量的谱密度在中小尺度段下降较快，说明在动力场上中小尺度部分的GRAPES 分析还不够精细（庄照荣等，2018）。Purser 等（2003b）构造出不同尺度叠加的高斯函数来代表背景误差水平相关模型，这种模型比单一高斯模型能构建更有益、多样化的协方差形状，而且这种模型也更有利于控制相关模型拉普拉斯算子的旁瓣峰值。

何光鑫等（2011）在GRAPES-3DVar 中采用尺度叠加高斯相关模型，通过四阶递归滤波方式在保持大尺度信息的基础上获得一些中小尺度的信息。吴洋等（2018）也采用多特征尺度的递归滤波器在分析和预报中获得了更多的α 中尺度信息。虽然他们的研究在个例试验中增加了分析增量的中小尺度信息，但是对于不同相关模型如何影响分析增量的不同尺度信息，以及控制变量的相关模型结构如何影响分析风场都没有明确结论。因而文中针对背景误差水平相关模型进行研究，通过改进尺度叠加高斯相关模型来增加分析的中小尺度信息和减小风场分析的偏差，同时提高区域分析和预报的质量。

2 背景误差水平相关结构
背景误差水平相关描述背景误差在水平空间两点的相关程度，背景误差水平相关决定着观测信息传播到格点后的分析增量结构，以及观测信息在格点空间传播的远近。在区域GRAPES-3DVar 中背景误差水平相关采用高斯模型来描述，并用递归滤波方案来实现观测信息在格点空间的传播。通过美国国家气象中心（NMC，National Meteorological Center）方法统计背景误差水平相关的结构，分析不同相关模型的性质和在3DVar 中应用时不同动力场变量间的相关关系。

2.1 统计的水平相关结构
统计数据来自GRAPES 区域中尺度数值模式的预报产品，模式水平分辨率为3 km，垂直分为51 层，区 域 为（17°—50°N，102°—135°E）。采 用2018 年6 月2 日—8 月31 日180 个预报样本（同一时刻24 h 与12 h 的预报场差别）来统计背景误差水平相关结构。区域中心点（33.5 °N，118.5 °E）与其他格点的背景误差水平相关系数分布如图1 所示。

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图1 第30 层中心点与其他格点的背景误差水平相关系数 （a. 流函数，b. 非平衡势函数，c. 非平衡地面气压，d. 非平衡温度，e. u 风场，f.v 风场，g. 比湿，h. 第1 层u 风场，i. 第1 层v 风场）
Fig. 1 Horizontal correlation coefficients for statistical samples on model level 30 （a. stream function，b. unbalanced velocity potential，c. unbalanced surface pressure，d. unbalanced temperature，e. u-component，f. v-component，g. specific humidity，h. u-component on mode level 1，i. v-component on model level 1）

从图1 可以看出，流函数与非平衡势函数的背景误差水平相关更接近各向同性，并且水平相关尺度更大，其中非平衡势函数的背景误差水平相关在东西方向比南北方向传播得更远（图1a、b）。由于流函数和非平衡势函数统计数据为风场的诊断导出量，区域边界的计算不准确造成在区域边界处的相关系数基本为负。非平衡地面气压的水平相关系数和地形有关，呈现非各向同性，水平相关尺度明显小于流函数与非平衡势函数（图1c）。非平衡温度、比湿和风场的背景误差水平相关尺度较小，其中比湿更接近各向同性分布（图1g），非平衡温度和u 风场在东西方向的相关明显高于南北方向（图1d、e），同时也可以看出u 风场在远离中心点南北两侧都存在明显负相关。对于高层v 风场在远离中心点东西两侧也存在负相关（图1f）。从第1 层u 风场的相关可以看出（图1h），最大相关尺度的轴线为东南—西北向，在轴线两侧远处有明显的负相关；而第1 层v 风场的最大相关尺度的轴线为西南—东北向（图1i），在轴线两侧远处也有明显的负相关。风场的背景误差水平相关结构与风压场关系有关，例如北半球西风观测会造成西风以北气旋，以南反气旋，因而观测西风较远处两侧会有反向的东风（背景误差水平相关就为负相关）。由于近地层的地面摩擦力的作用，北半球西风观测会向右偏，因而低层u 风场的背景误差水平相关尺度在东南—西北向最大，负相关也在最大相关尺度轴线的两侧，对于v 风场也是如此，低层大气风场统计相关结构结果与Gustafsson 等（2001，图9）给出的风场相关结构相似。

为了研究各变量的水平相关随高度的变化，统计区域（30°—40°N，115°—125°E）内所有格点与其他格点的平均水平相关系数随距离和高度的变化（图2）。

从统计的u 风场相关（图2a）可以看出，不同高度u 风场在X 方向的相关尺度都比在Y 方向的大，观测在X 方向会传播的更远，同时u 风场在X 方向没有负相关，而在Y 方向的中层存在小于0.1 的负相关。不同高度的v 风场在X 和Y 方向的水平相关尺度也略有不同（图2b），其中v 风场从低层到中高层X 方向存在小于0.1 的负相关，在Y 方向没有负相关。与图1 结论一致，在自由大气风压场以地转平衡关系为主，因而造成风场在X 和Y 方向的水平相关结构不同。从图2c、d 可以看出，比湿和非平衡温度的相关系数在X 方向的相关尺度都略比Y 方向大，而且这两个变量在X 和Y 方向基本没有负相关。从图2 也可以看出湿度场在平流层水平相关尺度明显大于模式的中低层，这是由于在平流层水汽很少，湿度接近于0，对于稳定少变的变量相关尺度较大，与冬季干冷天气状态下湿度的水平相关尺度比夏季大很多的结论相似（庄照荣等，2019）。

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图2 各变量在X （a1—d1） 与Y 方向 （a2—d2） 水平相关系数 （色阶） 随距离 （单位：100 km） 和高度 （模式层） 的变化（a. u 风场，b. v 风场，c. 比湿，d. 非平衡温度）
Fig. 2 Horizontal correlations （shaded） in X direction （a1—d1） and Y direction （a2—d2） for statistical samples（a. u-component，b. v-component，c. specific humidity，d. unbalanced temperature）

从图1 和图2 也可以看出，流函数、非平衡势函数和地面气压的水平相关尺度较大，为大尺度变量，而非平衡温度、比湿和u/v 风场的水平尺度较小，为较小尺度变量，它们的背景误差水平相关系数分布决定着观测资料对分析增量结构的影响。

2.2 相关模型的性质
从2.1 节可知，变量中心点和其他格点的相关系数虽然基本为各向异性，但区域平均下各变量X 和Y 方向相关系数基本是对称的。在3DVar 分析中背景误差协方差为静止、模型化的结构，其中背景误差水平相关关系假定为各向同性的，可用相关模型来描述。在GRAPES-3DVar 区域分析中，用高斯函数 G (r)描述水平相关关系。

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式中，r 为两点间的距离， L为水平相关尺度。由于高斯相关模型会造成分析的中小尺度信息不足，如果采用多种尺度叠加的高斯相关模型会增加中小尺度信息，尺度叠加的高斯函数为

pagenumber_ebook=85,pagenumber_book=82
式中， R(r)为 水平相关尺度（ L） 从 l1到 lN的N 种不同尺度的高斯函数叠加。高斯函数与尺度叠加高斯函数的拉普拉斯算子为

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高斯函数与尺度叠加高斯函数进行傅里叶变换，同时利用傅里叶变换的线性性质，它们的谱响应函数分别为

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式中， k为频率。从式（5）、（6）可知，高斯函数和尺度叠加高斯函数的谱响应函数随 kL（频率和相关尺度的乘积）而变化。再利用傅里叶变换的微分性质， F[f(n)(r)]=(ik)nF[f(r)]，则高斯函数与尺度叠加高斯函数拉普拉斯算子的谱响应函数分别为

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若高斯模型的水平相关尺度为280 km，尺度叠加的高斯函数分别采用180、280、380 km 三种尺度叠加而成，280 km 为尺度叠加高斯函数的平均尺度，则从这两种相关函数的空间分布及其归一化的负拉普拉斯算子以及它们的谱响应函数（图3）可以看出，当进行不同尺度叠加后，尺度叠加的高斯相关函数可以基本保持单一相关尺度280 km 的高斯函数分布（图3a），而且尺度叠加高斯函数归一化的负拉普拉斯算子在近距离也与单一高斯函数归一化的负拉普拉斯相当，但尺度叠加的高斯函数负拉普拉斯的旁瓣峰值（−0.298）明显低于高斯函数的值（−0.446）（图3b）。如果采用更多的高斯函数组合，叠加效应的优势更能体现。从图3c 谱响应函数可以看出，尺度叠加的高斯谱响应函数在长波大尺度部分能与单一的高斯函数功率谱相当，在中小尺度上功率谱比单一高斯函数的功率谱增加很多。对于尺度叠加高斯函数的拉普拉斯算子的谱响应函数也是同样的结论（图3d）。

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图3 相关函数 （a） 及其归一化的负拉普拉斯算子 （b），相关函数的谱响应函数 （c） 及其拉普拉斯算子的谱响应函数 （d）
Fig. 3 Correlation function （a） and its normalized negative Laplacian （b），spectral response function of correlation function （c） and its Laplacian （d）

2.3 相关模型在3DVar 中的应用
在GRAPES-RAFS 系统中采用三维变分进行同化分析，以求控制变量的目标函数达到极小时的分析场（薛纪善等，2008，2012）

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式中，w 为控制变量，H 是把大气状态投影到观测空间的线性观测算子，P 是变量间不相关的分析变量（δψ、δχu、δ(T,ps)u、δq ） 到模式变量（δua、δva、δπa、δq） 的平衡变换。 d=H(xb)−y为 新息向量， xb为背景场， y为 观测。 Σu是由格点上均方根误差构成的对角矩阵，矩阵 U是相关系数矩阵的平方根矩阵，有

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式中， V 为正交垂直模， S 为垂直模的方差向量， R为背景误差水平相关矩阵。背景误差水平相关矩阵与某个向量的乘积可用递归滤波来逼近（薛纪善等，2008）

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式中， RF 为 一次向前一次向后的递归滤波， R可以通过 N次向前/向后的递归滤波来逼近。在GRAPES-3DVar 系统中，分析变量（ δψ 、 δχu 、 δ(T,ps)u、 δq）的背景误差协方差采用NMC 方法统计，其中分析变量的水平相关模型采用高斯函数来描述，背景误差协方差水平变化部分采用一阶递归滤波算法，滤波迭代次数为10。

对于尺度叠加的高斯相关模型，利用傅里叶变换线性性质，可采用多次不同尺度的递归滤波运算叠加来实现。

目前GRAPES-3DVar 中分析变量ψ 、χ u、( T,ps)u、q背景误差水平相关模型为高斯函数，则分析变量的背景误差协方差可描述为

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式中，变量 X 可为 ψ 、 χu、 (T,ps)u、 q，pagenumber_ebook=87,pagenumber_book=84表示背景误差方差， G(r,LX)和 LX 分 别为变量 X的相关函数和水平相关尺度， pagenumber_ebook=87,pagenumber_book=84 为 两 点 i,j之 间 的 距 离， ψ、χu控制变量之间的协方差为

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式中， H(r,L)描 述 ψ 和 χu变量的水平相关系数。对于模式变量u、 v和分析变量有以下关系

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根据Daley（1985）以及Hollingsworth 等（1986），则 u风场的协方差为

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同样， v 风 场和u、 v之间的协方差可表示为

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其中

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从式（15）—（17）可知，风场的背景误差协方差由流函数、势函数及它们间的相关系数函数决定。因而用相关函数描述分析变量背景误差的水平相关关系时，不仅要求相关函数本身能匹配实际分析变量的水平相关，相关函数的拉普拉斯算子也应该有合理的结构来描述风场之间的相关关系。

当采用高斯函数描述流函数与非平衡势函数的背景误差的水平相关时，推导出风场背景误差相关关系与高斯函数的负拉普拉斯算子的结构有关（见式（15）、（16）、（17）），而高斯函数负拉普拉斯算子的旁瓣值可超过−0.4（图3b），造成风场负相关较大，因而单点风观测的负增量也比较大（见张华等（2004）的图4b 与图5c 以及庄世宇等（2005）图6）。而采用尺度叠加高斯函数描述背景误差水平相关时，推导出风场背景误差负相关可大幅度变弱（图3b），并可通过调节不同尺度参数使描述的风场背景误差水平相关结构更符合图1 和图2 统计的结果，因而会缓解风场较大负相关造成的不合理分析增量问题。

3 GRAPES-RAFS 系统及试验设置
3.1 GRAPES-RAFS 系统
GRAPES 区域快速分析预报循环系统（GRAPES-RAFS）是基于区域GRAPES 模式面三维变分分析（GRAPES-3DVar）（马旭林等，2009；薛纪善等，2008，2012）和区域中尺度数值预报模式（陈德辉等，2006；Chen，et al，2008；Zhang，et al，2008）建立的间歇快速分析预报循环系统（徐枝芳等，2013；庄照荣等，2020）。其中GRAPES-3DVar中控制变量为流函数、非平衡势函数、非平衡地面气压、非平衡温度和比湿，背景误差协方差采用美国国家气象中心方法（NMC）统计得到，风压场的平衡关系依赖线性统计回归关系（王瑞春等，2012），误差方差为随高度和纬度变化的二维场，垂直相关采用NMC 方法统计的垂直相关系数，水平相关关系用高斯函数来描述，水平相关尺度为随高度变化的统计廓线（庄照荣等，2019）。

3.2 试验设置
采用GRAPES-RAFS 进行间歇分析预报循环试验，试验时段为2018 年6 月11 日00 时—28 日12 时（世界时，下同），分别在00 和12 时开始每隔3 h 进行一次分析的12 h 循环，即到12/00 时终止。在起始00/12 时的冷启动采用NCEP 全球模式6 h 预报的降尺度场作为背景场，NCEP 模式产品分辨率为50 km，垂直分层从1000 hPa 到10 hPa共26 层。与业务设置一样，为了同化更多的观测资料，冷启动分析时间窗为6 h，正负3 h 的观测资料都作为冷启动时刻的观测资料使用，随后每3 h分析采用的背景场为上一时刻区域模式的3 h 预报；热启动分析时间窗为3 h，正负1.5 h 的观测资料进入分析系统，分析后长时间预报时效为24 h。三维变分同化的观测资料包括探空、地面报、船舶报、飞机报、云导风、雷达反演VAD 风场和GPS反演的可降水量。云分析使用了风云2G 的亮温和云总量，以及雷达反射率资料。试验范围为中国东部区域（17°—50°N，102°—135°E），模式水平分辨率为3 km，垂直为51 层，模式顶达33 km。试验中采用非绝热数字滤波方案来滤除多次循环中初始场累积的虚假重力波噪音，只在热启动时采用数字滤波，并且数字滤波周期为2 h，即绝热向后积分1 h，然后进行向前非绝热积分2 h，对向前积分的2 h内的预报场进行时间上的滤波获得初始场。

对照试验（Ctrl）在以上设置的基础上采用单一的高斯相关函数进行分析，其中采用随高度变化的水平相关尺度L 如图4 所示。改进试验（SupG）在以上设置的基础上采用3 种尺度叠加的高斯相关函数，即N=3，3 种水平相关尺度分别为 (L−100 km)、L、L+100 km。

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图4 流函数、非平衡势函数、非平衡温度和比湿的水平相关尺度随高度的变化
Fig. 4 Horizontal correlation length changes with height for stream function，unbalanced velocity potential，unbalanced temperature and specific humidity

两组试验采用同样的GRAPES 区域模式设置，时间步长30 s，辐射方案采用RRTM 长波方案和Dudhia 短波方案，没有采用积云对流参数化方案，微物理过程采用WSM6，陆面过程采用NOAH，近地面层采用Monin-Obukhov 方案，边界层采用MRF 方案。

4 个例分析
为了更细致分析尺度叠加高斯相关模型对分析预报的影响，在批量试验中选取2018 年6 月15 日00 时的实际观测资料分析和预报场，分别从分析目标函数、分析增量结构、分析增量功率谱及预报的动能谱研究相关模型的影响。

4.1 目标函数影响
三维变分系统中目标函数直接反映分析靠近观测资料的程度和收敛情况。从目标函数随收敛步长的变化（图5a）可以看出，采用SupG 方案后，目标函数（J）和观测目标函数比对照试验下降收敛更快。收敛后SupG 试验的目标函数比对照试验下降15.83%，观测目标函数比对照试验下降23%，背景场目标函数比对照试验上升72%。以上结果说明改进的尺度叠加高斯相关模型对分析系统的收敛性及分析场影响很大，分析场更靠近观测。

从背景场各控制变量的目标函数变化（图5b）可以诊断不同变量观测对分析的修正程度，可以看出，湿度背景目标函数随收敛步数上升缓慢，收敛后湿度目标函数远小于温度场和风场，这与目前湿度观测资料较少，并且为单变量分析有关。采用尺度叠加高斯相关模型后，收敛后湿度目标函数有明显提高，提高幅度达39%。对于流函数和非平衡势函数，SupG 试验的背景目标函数随收敛步数上升程度远大于对照试验，收敛后流函数目标函数提高幅度达113%，非平衡势函数达98%。SupG 试验的温度场目标函数也增幅明显，收敛后比对照试验提高44%。

4.2 分析增量结构
比较对照试验（图6）与SupG 试验（图7）的分析增量可以看出，对照试验的分析增量存在明显的几个大值中心，分析增量分布比SupG 试验更平滑，基本为大尺度分析增量。而SupG 试验的分析增量存在更多的大值中心和更精细的增量结构，尤其是纬向风和经向风分析增量，与对照试验相差很大。

4.3 分析增量功率谱
从相关模型的性质可知，尺度叠加高斯模型比单一高斯模型在中小尺度部分上有更多的信息，从两组试验分析增量的功率谱差值（图8）可以看出，SupG 试验的无量纲气压和风场分析增量功率谱在2000 km 以上的大尺度部分功率谱小于对照试验，在2000 km 以下尺度，SupG 试验的功率谱在各高度层上都显著大于对照试验。同样，在2000 km 以上SupG 试验的湿度分析增量大尺度部分功率谱也小于对照试验；在中小尺度部分，湿度分析增量在模式中低层的功率谱也明显高于对照试验。

4.4 预报的动能谱
从不同预报时效的动能谱变化（图9）也可以看出，在100 km 以下尺度部分，SupG 试验的分析动能谱明显高于对照试验。随后1—2 h 预报过程中，模式产生更多中小尺度信息，两组试验的预报动能谱向观测谱线靠近，但二者相差不大。在3—6 h 预报过程中，模式预报的动能谱在高频部分进一步靠近观测谱线，模式动力、热力调整也趋于稳定，同时也可以看出中小尺度部分SupG 试验的动能谱略微高于对照试验。

综上所述，尺度叠加高斯相关模型加速了目标函数的收敛程度，收敛后的各变量背景目标函数都有明显增大，特别是动力场背景目标函数；而且显著增加了分析增量的中小尺度信息，在100 km 以内，分析动能谱明显增大，前6 h 预报动能谱也略有增大。

5 批量试验分析
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图5 2018 年6 月15 日00 时目标函数随收敛步数的变化（a. 总目标函数J、背景目标函数Jb 和观测目标函数Jo，b. 各控制变量的背景目标函数）
Fig. 5 Variations of objective function at 00:00 UTC 15 June 2018（a. Objective function of J，Jb and Jo，b. control variables of Jb）

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图6 对照试验第10 层分析增量 （a. 无量纲气压；b. 比湿，单位：g/kg；c. u 风场，单位：m/s；d. v 风场，单位：m/s）
Fig. 6 Analysis increments of the Ctrl experiment on model level 10（a. non-dimensional pressure; b. specific humidity，unit: g/kg; c. u-component，unit: m/s; d. v-component，unit: m/s）

对17 天35 组的循环试验结果进行检验，比较快速分析预报循环中热启动00 与12 时起报的分析预报与探空观测的偏差与标准差及热启动00 时起报的24 h 预报内各时段各量级降水ETS 评分和偏差评分。尺度叠加高斯相关模型对地面2 m 气温和10 m 风的分析场和预报影响不大（图略）。

5.1 高空要素预报检验
对比热启动的分析预报与00/12 时探空观测的偏差与标准差（图10）可以看出，对于u/v 风场，在150 hPa 以下SupG 试验的分析标准差比对照试验下降幅度达0.5 m/s，对风场的改进非常明显；但是对风场分析偏差两组试验差别不是很明显。同样，对于温度和湿度分析，SupG 试验在150 hPa 以下模式中低层改进也很明显，分析标准差都比对照试验小，但SupG 试验的温度分析偏差与对照试验相差不大，对照试验的湿度分析偏差在200 hPa 附近反而比SupG 试验更靠近“0”线。

对于3 h 预报场，SupG 试验的风场标准差在150 hPa 以下略低于对照试验，两组试验温度标准差相差不大，SupG 试验湿度标准差在300 hPa 附近略有减少。

经过12 h 预报后，尺度叠加相关模型对风场预报还有一定的正贡献，SupG 试验的风场预报标准差在100 hPa 以下都略小于对照试验。而温度和湿度场12 h 预报在两组试验中的差别不明显。

5.2 降水预报检验
从2018 年6 月12—28 日热启动00 时起报的对照试验和改进试验平均每6 h 降水预报的ETS 评分（图11）可以看出，SupG 试验的0—6 h 降水预报ETS 评分在各个降水量级都比对照试验显著提高，SupG 试验的6—12 h 降水预报ETS 评分在中雨和大雨量级都明显高于对照试验。12—18 h 预报时段，SupG试验在小雨、中雨和暴雨量级的ETS 评分明显比对照试验高；18—24 h 预报时段，SupG 试验的降水预报ETS 评分在小雨、中雨和大雨量级显著高于对照试验。

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图7 SupG 试验第10 层分析增量（a. 无量纲气压；b. 比湿，单位：g/kg；c. u 风场，单位：m/s；d. v 风场，单位：m/s）
Fig. 7 Analysis increments of the SupG experiment on model level 10（a. non-dimensional pressure; b. specific humidity，unit: g/kg; c. u-component，unit: m/s; d. v-component，unit: m/s）

从降水预报偏差评分（图12）可以看出，0—6 h预报时段，对于大雨、暴雨和特大暴雨量级降水，对照试验虚警严重，SupG 试验虚警现象明显改善，降水偏差显著降低。6—12 h 预报时段，两组试验对暴雨以下量级的降水预报都存在漏报，对特大暴雨都存在虚警，虚警现象SupG 试验有明显改善，降水预报偏差评分从2.3 下降到1.9。12—18 h 预报时段，除去暴雨量级SugG 试验降水虚警略严重，其他量级降水虚警现象比对照试验均有缓解，SupG 试验的降水偏差更接近于1.0。18—24 h 预报时段，SupG 试验小雨、中雨和暴雨量级的降水预报偏差评分都比对照试验更接近于1.0，虚警略有改善，但对特大暴雨量级降水，对照试验存在漏报，而SupG试验存在虚警。

6 结论和讨论
采用NMC 方法统计背景误差水平相关结构，并且研究高斯模型和尺度叠加高斯模型的特征，依据统计的水平相关结构特征来改进水平相关模型。并且通过多次递归滤波方案把尺度叠加高斯模型应用于GRAPES-RAFS 系统，进行观测资料同化和预报循环试验，主要得到以下结论：

（1）在一维空间尺度，叠加高斯模型与单一高斯模型结构相似，但其负拉普拉斯算子的旁瓣峰值有明显减小，并且尺度叠加高斯模型及其拉普拉斯算子的谱响应函数在高频部分的振幅比单一高斯模型的值有明显提高。

（2）通过3 个月东部区域预报数据NMC 方法统计，风场背景误差负相关不到−0.1。在GRAPES-3DVar 中，当控制变量为流函数与非平衡势函数时，风场相关关系的描述直接与相关模型的负拉普拉斯算子有关，而单一高斯模型负拉普拉斯算子旁瓣峰值较大会造成不合理的风场负相关。尺度叠加高斯相关模型负拉普拉斯算子的旁瓣峰值可以通过不同特征尺度组合进行调节，因而比单一高斯模型更适合描述风场的相关关系。

（3）尺度叠加高斯模型在3DVar 中的应用加强了观测资料对分析的影响，特别是风场观测，因而加速了目标函数的收敛，动力场的背景目标函数增加100%左右，分析增量的中小尺度信息大幅度增加，中小尺度段分析的动能谱明显增大，前6 h 预报的动能谱也略有增大。

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图8 SupG 试验与对照试验的分析增量功率谱差值 （单位：m3/s2） 随波长和高度的变化（a. 无量纲气压，b. 比湿，c. u 风场，d. v 风场）
Fig. 8 Variations of the power spectrum （unit: m3/s2） of the SupG minus the Ctrl analyses increments（a. non-dimensional pressure，b. specific humidity，c. u-component，d. v-component）

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图9 分析和预报场的动能谱变化（实线为SupG 试验，虚线为对照试验；单位：m3/s2）
Fig. 9 Simulated kinetic energy spectra from the analyses and forecasts （solid line：SupG experiment，dished line：Ctrl experiment；unit：m3/s2）

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图10 热启动00/12 时的分析预报场与探空观测的偏差 （a1—d1） 和标准差 （a2—d2） （a. u 风场，单位：m/s；b. v 风场，单位：m/s；c. 温度，单位：K；d. 相对湿度，单位：%）
Fig. 10 Biases （a1—d1） and standard deviations （a2—d2） of analyses and forecasts from radiosonde observations at 00:00/12:00 UTC （a. u-component，unit: m/s; b. v-component，unit: m/s; c. temperature，unit: K; d. relative humidity，unit: %）

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图11 各时段降水预报ETS 评分 （a. 0—6 h，b. 6—12 h，c. 12—18 h，d. 18—24 h）
Fig. 11 ETS scores of accumulated precipitation forecasts （a. 0—6 h，b. 6—12 h，c. 12—18 h，d. 18—24 h）

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图12 各时段降水预报偏差评分 （a. 0—6 h，b. 6—12 h，c. 12—18 h，d. 18—24 h）
Fig. 12 Bias scores of accumulated precipitation forecasts （a. 0—6 h，b. 6—12 h，c. 12—18 h，d. 18—24 h）

（4）批量循环试验的分析预报结果表明，尺度叠加高斯相关模型的应用大幅度降低了热启动分析的标准差，尤其风场分析质量提高明显，同时3 h和12 h 风场预报质量也略有提高，也显著提高了前24 h 各量级降水的ETS 评分，SupG 试验明显缓解了对照试验的虚警现象。

文中依据统计的背景误差水平相关结构，改进了3DVar 中的水平相关模型。在高分辨率模式系统中，不仅是背景误差水平相关，背景误差均方差、垂直相关，以及变量之间的相关关系都需要重新考虑。背景误差协方差中变量之间的相互关系在以往多有研究，例如区域GRAPES-3DVar 中最初只考虑了最主要的地转平衡关系（张华等，2004；马旭林等，2009），后来又引入了非线性平衡方案描述强涡旋系统中的风压场平衡关系（Zhuang，et al，2006）。在全球GRAPES-3DVar 中通过统计回归系数来描述流函数和势函数的关系，初步补充了原方案中没有旋转风和散度风之间的平衡关系（王瑞春等，2012）。而在高分辨率系统中，变量之间的平衡关系需要更关注中小尺度的平衡关系。从文中统计的风场水平相关结构也可以看出，由于受地面摩擦力影响，大气边界层风场水平相关结构是倾斜的，变量之间的平衡关系要考虑摩擦力作用，同时也要更细致考虑动力场之间的旋转风和散度风的关系。

文中对地面要素预报的检验结果表明，尺度叠加高斯相关模型改进对地面要素分析和预报影响不大。这也说明大气边界层受复杂下垫面影响，在动力和热力的共同作用下，大气边界层的地面要素尺度小，变化大，比自由大气中的高空要素场更难准确分析和预报。只改进背景误差相关模型很难对近地面要素分析起作用，还需要改进大气边界层的同化框架，以及改进地面观测资料的同化算法。

致 谢：感谢数值预报中心王瑞春博士提供的区域模式预报统计样本； 感谢数值预报中心王皓博士提供的高空要素预报场偏差和标准差检验程序。

参考文献

陈德辉，沈学顺. 2006. 新一代数值预报系统GRAPES 研究进展. 应用气象学报，17（6）：773-777. Chen D H，Shen X S. 2006. Recent progress on GRAPES research and application. J Appl Meteor Sci，17（6）：773-777（in Chinese）

何光鑫，李刚，张华. 2011. GRAPES-3DVar 高阶递归滤波方案及其初步试验. 气象学报，69（6）：1001-1008. He G X，Li G，Zhang H. 2011. The scheme of high-order recursive filter for the GRAPES-3DVar with its initial experiments. Acta Meteor Sinica，69（6）：1001-1008 （in Chinese）

马旭林，庄照荣，薛纪善等. 2009. GRAPES 非静力数值预报模式的三维变分资料同化系统的发展. 气象学报，67（1）：50-60. Ma X L，Zhuang Z R，Xue J S，et al. 2009. Development of 3-D variational data assimilation system for the nonhydrostatic numerical weather prediction model-GRAPES. Acta Meteor Sinica，67（1）：50-60 （in Chinese）

王金成，庄照荣，韩威等. 2014. GRAPES 全球变分同化背景误差协方差的改进及对分析预报的影响：背景误差协方差三维结构的估计. 气象学报，72（1）：62-78. Wang J C，Zhuang Z R，Han W，et al. 2014. An improvement of background error covariance in the global GRAPES variational data assimilation and its impact on the analysis and prediction：Statistics of the three-dimensional structure of background error covariance. Acta Meteor Sinica，72（1）：62-78 （in Chinese）

王瑞春，龚建东，张林. 2012. GRAPES 变分同化系统中动力平衡约束的统计求解. 应用气象学报，23（2）：129-138. Wang R C，Gong J D，Zhang L. 2012. Statistical estimation of dynamic balance constraints in GRAPES variational data assimilation system. J Appl Meteor Sci，23（2）：129-138 （in Chinese）

吴洋，徐枝芳，王瑞春等. 2018. 基于多尺度混合滤波的GRAPES_3Dvar 及其在实际暴雨预报中的应用分析. 气象，44（5）：621-633. Wu Y，Xu Z F，Wang R C，et al. 2018. Improvement of GRAPES_3Dvar with a new multi-scale filtering and its application in heavy rain forecasting. Meteor Mon，44（5）：621-633 （in Chinese）

徐枝芳，郝民，朱立娟等. 2013. GRAPES_RAFS 系统研发. 气象，39（4）：466-477. Xu Z F，Hao M，Zhu L J，et al. 2013. On the research and development of GRAPES_RAFS. Meteor Mon， 39（4）： 466-477 （in Chinese）

薛纪善，陈德辉. 2008. 数值预报系统GRAPES 的科学设计与应用. 北京：科学出版社，1-64. Xue J S，Chen D H. 2008. Scientific Design and Application of GRAPES. Beijing：Science Press，1-64 （in Chinese）

薛纪善，刘艳，张林等. 2012. GRAPES 全球三维变分同化系统模式变量分析版文档//中国气象局数值预报中心技术手册. 北京：中国气象局，1-11. Xue J S，Liu Y，Zhang L，et al. 2012. Scientific documentation of GRAPES-3DVar version for global model//Numerical Weather Prediction Center. Beijing：China Meteorological Administration，1-11（in Chinese）

张华，薛纪善，庄世宇等. 2004. GRAPES 三维变分同化系统的理想试验. 气象学报，62（1）：31-41. Zhang H，Xue J S，Zhuang S Y，et al. 2004. Idea experiments of GRAPES three-dimensional variational data assimilation system. Acta Meteor Sinica，62（1）：31-41 （in Chinese）

庄世宇，薛纪善，朱国富等. 2005. GRAPES 全球三维变分同化系统：基本设计方案与理想试验. 大气科学，29（6）：872-884. Zhuang S Y，Xue J S，Zhu G F，et al. 2005. GRAPES global 3D-Var system：Basic scheme design and single observation test. Chinese J Atmos Sci，29（6）：872-884（in Chinese）

庄照荣，薛纪善，庄世宇等. 2006. 资料同化中背景场位势高度误差统计分析的研究. 大气科学，30（3）：533-544. Zhuang Z R，Xue J S，Zhuang S Y，et al. 2006. A study of the statistical analysis of the geopotential height background errors in the data assimilation. Chinese J Atmos Sci，30（3）：533-544 （in Chinese）

庄照荣，陈静，黄丽萍等. 2018. 全球和区域分析的混合方案对区域预报的影响试验. 气象，44（12）：1509-1517. Zhuang Z R，Chen J，Huang L P，et al. 2018. Impact experiments for regional forecast using blending method of global and regional analyses. Meteor Mon，44（12）：1509-1517（in Chinese）

庄照荣，王瑞春，王金成等. 2019. GRAPES_Meso 背景误差特征及应用. 应用气象学报，30（3）：316-331. Zhuang Z R，Wang R C，Wang J C，et al.2019. Characteristics and application of background errors in GRAPES_Meso. J Appl Meteor Sci，30（3）：316-331 （in Chinese）

庄照荣，王瑞春，李兴良. 2020. 全球大尺度信息在3 km GRAPES-RAFS 系统中的应用. 气象学报，78（1）：33-47. Zhuang Z R，Wang R C，Li X L.2020. Application of global large scale information to GRAEPS RAFS system. Acta Meteor Sinica，78（1）：33-47 （in Chinese）

Chen D H，Xue J S，Yang X S，et al. 2008. New generation of multi-scale NWP system （GRAPES）：General scientific design. Chinese Sci Bull，53（22）：3433-3445

Daley R. 1985. The analysis of synoptic scale divergence by a statistical interpolation procedure. Mon Wea Rev，113（6）：1066-1080

Gustafsson N，Berre L，Hörnquist S，et al. 2001. Three-dimensional variational data assimilation for a limited area model. Tellus A，53（4）：425-446

Hollingsworth A，Lönnberg P. 1986. The statistical structure of short-range forecast errors as determined from radiosonde data. PartⅠ：The wind field. Tellus A，38（2）：111-136

Purser R J，Wu W S，Parrish D F. 2003a. Numerical aspects of the application of recursive filters to variational statistical analysis. Part Ⅰ：Spatially homogeneous and isotropic gaussian covariances. Mon Wea Rev，131（8）：1524-1535

Purser R J，Wu W S，Parrish D F，et al. 2003b. Numerical aspects of the application of recursive filters to variational statistical analysis. Part Ⅱ：Spatially inhomogeneous and anisotropic general covariances. Mon Wea Rev，131（8）：1536-1548

Thiebaux H J. 1976. Anisotropic correlation functions for objective analysis.Mon Wea Rev，104（8）：994-1002

Vandenberghe F，Kuo Y H. 1999. Introduction to the MM5 3D-VAR data assimilation system：Theoretical basis. NCAR Technical Note，917：1-38

Zhang R H，Shen X S. 2008. On the development of the GRAPES：A new generation of the national operational NWP system in China. Chinese Sci Bull，53（22）：3429-3432

Zhuang Z R，Xue J S，Zhu Z S，et al. 2006. Application of nonlinear balance scheme in three-dimensional variational data assimilation. Acta Meteor Sinica，20（4）：413-425

The application of superposition of Gaussian components in GRAPES-RAFS. Acta Meteorologica Sinica， 79（1）:79-93

Zhuang Zhaorong， Li Xingliang. 2021.

Abstract The background error horizontal correlation model decides the structure of analysis increments affected by observations,and the analysis increments information changes with different scales in spectral space. The characteristics of Gaussian function(Gauss) and superposition of Gaussian components (SupG) are studied. Meanwhile, according to the structures of background error horizontal correlations estimated by NMC method, the correlation model is improved based on statistical results and characteristics of functions. The application of SupG correlation model can not only increase the meso- and small-scale information of analysis increments, but also mitigate the inappropriate large negative correlation because the correlation structure of wind with SupG is closer to actual weather. The analysis and forecast qualities between the control experiments (Gaussion function) and SupG experiments run with GRAPES-RAFS system are compared. The numerical results indicate that the convergence of the objective function is accelerated, and meso- and small-scale power spectra of analysis increments are increased so there are more meso- and small-scale information in analysis increments. The analysis qualities are obviously improved especially in wind analysis. Meanwhile the forecast qualities of 12 h wind are improved too. In addition, the precipitation forecast score ETS is higher in SupG experiments than in control experiments.

Key words Horizontal correlation model，Gaussian function，Superposition of Gaussian components，3DVar，GRAPES-RAFS

2020-05-06 收稿，2020-09-22 改回.

庄照荣，李兴良. 2021. 尺度叠加高斯相关模型在GRAPES-RAFS 中的应用. 气象学报，79（1）：79-93

中图法分类号 P435

* 资助课题：国家重点研发计划项目（2017YFA0603901、2017YFC1502001）。

作者简介：庄照荣，主要从事资料同化研究。E-mail：zrzhuang@cma.gov.cn

通信作者：李兴良，主要从事数值预报模式研究和数值算法应用研究，E-mail：lixliang@cma.gov.cn