西南大学22春[0158]《高等代数》课程作业（含答案）

在线作业答案

1、在矩阵运算中，任何两个矩阵都可以进行加法运算。
.A.√
西南大学2022年春季学期作业
.B.??
2、AB为两个n阶矩阵，则A+B的行列式等于A的行列式与B的行列式之和。
.A.√
.B.??
3、设多项式f(x)|g(x)，c是一个非零常数，则cf(x)|g(x)。
.A.√??
.B.
4、设A是矩阵，A的秩等于3，则A的列向量一定线性相关。
.A.√??
.B.
5、一个齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的一个解向量。
.A.√??
.B.
6、设A是n阶矩阵，如果A可经过初等行变换变成单位矩阵，那么A是可逆的。
.A.√??
.B.
7、在一个n阶行列式中，若有某两行的元素相同，则行列式的值等于零。
.A.√??
.B.
8、设A是n阶矩阵，若非齐次线性方程组AX=B无解，则|A|=0。
.A.√??
.B.
9、设A是5阶矩阵，A的秩等于3，则A的4阶子式全为零。
.A.√??
.B.
10、矩阵   
.A.√
.B.??
11、在一个n阶行列式中，若有某两行的元成比例，则行列式的值为零。
.A.√??
.B.
12、一个n阶矩阵如果能与一个对角矩阵相似，那么它一定有n个互不相同的特征值。
.A.√
.B.??
13、在欧氏空间中，两个单位向量的和向量一定不是单位向量。
.A.√
.B.??
14、设V是n维线性空间，W是V的m维子空间，是V的基，则是W的基。
.A.√
.B.??
15、设A是可逆矩阵，交换A的第一行和第二行得矩阵B，则B也是可逆矩阵。
.A.√??
.B.
16、设A，B为n阶矩阵，r(A)表示A的秩，则r(AB)=r(A)r(B)。
.A.√
.B.??
17、根据Eisenstein判别法，多项式在实数域R上是不可约的。
.A.√
.B.??
18、根据整除的定义可知，零多项式只能整除零多项式。
.A.√??
.B.
19、一个非齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的解向量。
.A.√
.B.??
20、设是线性空间V的两个子空间，若。
.A.√
.B.??
21、设W是线性空间V的子空间，。
.A.√??
.B.
22、设A是n阶矩阵，|A|=0，E是n阶单位矩阵，则|A+E|=1。
.A.√
.B.??
23、在一个n阶矩阵中，若它的行向量线性相关，则它的列向量也线性相关。
.A.√??
.B.
24、在一个5维线性空间中，两个2维子空间的和空间一定是4维的。
.A.√
.B.??
25、若多项式g(x)|f(x)，则g(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式。
.A.√??
.B.
26、如果一个向量组线性相关，那么它的任一部分组也线性相关。
.A.√
.B.??
27、若2为n阶矩阵A的特征值，3为n阶矩阵B的特征值，则5为矩阵A+B的特征值。
.A.√
.B.??
28、在欧氏空间中，正交变换把正交的向量变成正交的向量。
.A.√??
.B.
29、若向量组线性相关，则
.A.√
.B.??
30、设为一个向量组，由于，所以线性无关。
.A.√
.B.??
31、如果一个二次型是正定的，那么它的函数值恒大于零。
.A.√
.B.??
32、设A是线性空间V的线性变换，若有非零向量，则A不可逆。
.A.√??
.B.
33、由代数基本定理可知实数域上n次多项式一定有n个实根。
.A.√
.B.??
34、数域P上两个不可约多项式的积一定是可约多项式。
.A.√??
.B.
35、如果两个n阶矩阵的秩相同，那么它们一定合同。
.A.√
.B.??
36、两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等。
.A.√
.B.??
37、在线性空间中，如果一个线性变换把子空间变成子空间，则它一定是可逆线性变换。
.A.√
.B.??
38、设，若f(x)与g(x)互素，则(f(x)g(x))=1。
.A.√??
.B.
39、设为一个向量组，若，则线性相关。
.A.√??
.B.
40、一个3维线性空间只有4个不同的子空间，它们的维数分别为0，1，2，3。
.A.√
.B.??
41、在线性空间V中，若向量线性无关，线性无关，则也线性无关。
.A.√
.B.??
42、若A，B为n阶对角形矩阵，则AB=BA。
.A.√??
.B.
主观题
43、四级排列4321的逆序数是??????。
参考答案：
6
44、设A是3阶矩阵，|A|=2，则|3A|=??????。
参考答案：
54
45、若是正定二次型，则d满足的条件是???????。
参考答案：
46、设3阶矩阵A的特征值为1，2，b，若A不可逆，则b=????????。
参考答案：
0
47、在向量组中，，则的秩等于???????。
参考答案：
2
48、设A是n阶矩阵，|A|=5，将A的第一行的3倍加到第二行得矩阵B，则|B|=??????。
参考答案：
5
49、在1，2，3，4构成的所有四级排列中，有??????个偶排列。
参考答案：
12
50、设A是矩阵，B是矩阵，若AB可逆，则m，n的关系是??????。
参考答案：
51、设，则f(x)的所有系数的和等于??????。
参考答案：
3
52、若，则c=??????????。
参考答案：
1
53、设AB为3阶矩阵，A是可逆的，B的秩等于2，则AB的秩等于???????。
参考答案：
2
54、在3维线性空间中，向量(201)的负向量是???????。
参考答案：
(201)
55、设，求g(x)除f(x)的商式和余式。
参考答案：
解：做综合除法：
　　　　　　16316
33918
　　　　　1362
所以g(x)除f(x)的商式为：，余式为：2。……15分
56、设，为A的一个特征向量，求a的值。
参考答案：
解：设是A的属于特征值的特征向量，则，……6分
于是
，……10分
所以，解得，所以a=3。……15分
57、设(1111)是下面的线性方程组的一个解：，求a，b，c的值。
参考答案：
解：由(1111)是方程组的一个解得：
，…………8分
所以a=0，b=3，c=2。…………15分
58、设，2阶矩阵X满足，求X。
参考答案：
解：因为，而，所以是可逆的。……5分
又，于是
。……10分
由于，所以
=。……15分
59、设是齐次线性方程组AX=0的两个解向量，证明也是AX=0的解向量。
参考答案：
证明：由已知条件有，……3分
所以
，……7分
所以是AX=0的解向量。…………8分
60、设A是线性空间V的线性变换，，证明：若线性无关，则线性无关。
证明：设，则
，……4分
由于线性无关，所以，
所以线性无关。…………8分


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