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西交《线性代数》拓展资源（八）
化二次型为标准形方法之——雅可比方法
一、相关定义
双线性函数定义
V是数域P上一个线性空间，f(α,β)是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α、β，根据f都唯一
地对应于P中一个数f(α,β)。如果f(α,β)有下列性质：
f(α,+)=
其中是V中任意向量，是P中任意数，则称f(α,β)为V上的一个双线性函数。
例如：欧式空间V的内积是V上双线性函数。
对成双线性函数的定义
f(α,β) 线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α,β都有f（α，β）=f(β,α),则称f(α,β)为对称双线性函数。
度量矩阵定义
设f(α,β)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数。是V的一组基，则矩阵叫做f(α,β)在下的度量矩阵。
结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。
二、化二次型为标准型的雅可比方法
设V是数域P上一个n维线性空间，取定V的一组基，令α=,β=，
x=,y=，那么给定一个F上的n元二次型（其中A是n阶对称矩阵），则由A可以定义一个V上对称双线性函数f(α,β)= ，其中。反之亦然。在固定的基下，二次型和对称双线性函数f(α,β)=是互相唯一确定的（都是由A确定的）。
这种方法的中心问题是：对在V的基下游二次型确定的对称双线性函数
f(α,β)=，满足条件
=0，对ij(i,j=1,2,…,n)
我们知道，设{}是V的另一组基，而B==是f(α,β)关于这个基的矩阵，又
设C=是由基到基的过渡矩阵，即
=，i=1,…,n
那么 B=， (1)
即一个双线性函数关于V的两个基的两个矩阵式合同的。
由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。设可逆矩阵C使成对角阵，
B=, (2)
再设C是基到基的过渡矩阵，由（1）式知，f(α,β)关于基的矩阵是对角矩阵（2）式，即
=0，对ij(i,j=1,2,…,n)
这表明，对于每一个对称双线性函数f(α,β)，都存在一个适当的基，使它可以写成如下形式
f(α,β)==,
其中，从而它所确定的二次型可以写成标准形
=
且二次型化为所作的非退化线性替换为x=Cz，其中C是由基到基的过渡矩阵，它使=B。
于是，化二次型为标准形的问题就可以归结为上述关于对称双线性函数的“中心问题”，为此，需要寻找满足条件（2）得V的一个基。
在中，从一个基出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基。该方法的实质就是设
然后用待定系数法求使得=0（其中 ij，i,j=1,2,…,n）的系数。
为此我们先解决下问题：
1）设V是数域P上一个n维线性空间，f(α,β)=使V上对称双线性函数，其中是V的一组基，α=,β=，
x=,y=,
A是n阶对称矩阵，那么从基{}出发，是否能构造如下形式的基：
使得 =0，对ij(i,j=1,2,…,n)
解：将代入得
=
=，
所以，若对任意的i及j<i有=0，则对j<i，也有
=0，
又因双线性函数f(α,β)是对称的，则对j>i，有
==0，
即是所求的基。于是，问题归结为求待定系数使向量 （3）
满足条件 ==0，j=1,2,…,i-1 （4）
显然，若满足=0，则的数量倍也满足
=0，
故为了确定，我们再要求满足条件
==1。 （5）
这样，可以利用条件（4）（5）唯一确定了，将（3）式代入（4)和（5），得到关于的线性方程组
（6）
这方程组的系数行列式为
。
因此，当0时，方程组（6）由唯一解，从而可求得向量。于是，当A==的顺
序主子式=，=，=
都不等于0时，可以由方程组（6）求出向量，i=1，2，…，n
2）由1）可知，在0，i=1，2，…，n的情形下，由方程组（6）可求出上三角矩阵
C==,
从而由（3）式求得，i=1，2，…，n，它们满足
==0，对ij，i,j=1,2,…,n
使得双线性函数f(α,β)关于基的矩阵为
B==,
是对角矩阵，由此可见，二次型可经非退化线性替换x=Cz，化成标准形
=
其中x=,z=.
下面计算=i=1，2，…，n，由（3）（4）（5）可得
==
==
再由克拉默法则，由方程组（6）可解得
=（其中令=1）。
因此，=，i=1，2，…，n
综上所述，我们可得以下结论：
设二次型（其中=）中，顺序主子式，，…, 都不等于零，则该二次型必可化为下面的标准形：
其中=1。这个化二次型为标准形的方法称为雅可比方法。
三、典型例题：
用雅可比方法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。
=
解：由于矩阵A=,它的顺序主子式=2，=，=都不等于零，故可用雅可
比方法。
设，，，双线性函数f(α,β)关于基，，的矩阵为A,则
A==
设
系数可由条件=1求出，即=2=1
故=，故有=系数可由方程组求出，
得，故=
系数可由方程组求出，得，故
由此可得，由基，，到的过渡矩阵为C=
因此经线性替换X=CZ化成标准型=
四、雅可比方法在判定二次型的正定性问题上的应用
1）实二次型=是正定的充要条件是：矩阵A的顺序主子式，，…, 全大于零；
2）实二次型=是负定的充要条件是：
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发表于 2021-3-19 11:54:53
