西交《线性代数》拓展资源（七）

欧阳老师

西交《线性代数》拓展资源（七）
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别
一、基本概念与性质
（一）等价：
1、概念：若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为
。
2、矩阵等价的充要条件：



3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：
1、概念：两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得

成立，则称A,B合同，记作
该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则

二次型
与
有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似
1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得
成立，则称矩阵A,B相似，记为
。
2、矩阵相似的性质：


3、矩阵相似的充分条件及充要条件：
①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：

二、矩阵相等、合同、相似的关系
（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：
设矩阵
，

1、若向量组（
）是向量组（
）的极大线性无关组,则有
，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然
但不能得出
。
2、若m=n，两向量组（
）
（
）则有矩阵A,B同型且

。
3、若
两向量组秩相同，
两向量组等价，即有

综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
（二）、矩阵合同、相似，等价的关系。
1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。
2、合同、相似、等价之间的递推关系
    ①相似
等价：

A,B同型且

    ②合同
等价：
同型且

    ③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以
Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当
时，
二次型
与
有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数

即有

Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即
使得
即
则有
  即有

Ⅲ、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则
时有

Ⅳ、
、
、

下面讨论
时
成立的条件。
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知存在正交矩阵P时，有
，则
记
则
，此时
，即P为正交矩阵时，由

（三）区别
1、矩阵等价：①同型矩阵而言
                 ②一般与初等变换有关
                 ③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的本质是秩相等
2、矩阵相似：①针对方阵而言
                 ②秩相等是必要条件
                 ③本质是二者有相等的不变因子
3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵
                 ②秩相等是必需条件
                 ③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同
   由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵。
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