西交《线性代数》faq（六）

奥鹏作业答案

西交《线性代数》FAQ（六）
特征值与特征向量
一、
阶方阵是否一定有
个线性无关的特征向量？
答：不一定。当
的
个特征值两两互异时，
才一定有
个线性无关的特征向量；否则就不一定。比如
，
的特征值
。对应于
线性无关的特征向量只有一个，故
只有两个而不是三个线性无关的特征向量。
二、
的解向量是否都是
对应于
的特征向量？假如
都是
对应于
的特征向量，
的线性组合是否都是
的特征向量？
答：不是。满足
的非零向量才是
对应于
的特征向量。
是
的解，但
不是特征向量。因为
都是
对应于
的特征向量，所以
都不是零向量，且有

，

。根据矩阵的运算性质，有


其中
为常数，所以
的任意非零线性组合


都是
的特征向量。
三、特征值与特征向量之间有什么对应关系？
答：特征值和特征向量之间的关系可从以下几个方面考虑：
（1）由于属于特征值
的特征向量的任意非零线性组合还是属于特征值
的特征向量，所以一个特征值一定有无穷多个特征向量；
（2）一个特征向量只能属于一个确定的特征值，而不能属于不同的特征值；
（3）矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关；
（4）矩阵A的属于同一特征值
的线性无关的特征向量的个数不超过特征值
的重数，也可能少于
的重数。
四、特征向量的几何意义是什么？
答：由定义，如果非零列向量
是n阶矩阵A的对应于特征值
的特征向量，则有
，从变换的角度看，相当于
经变换
后变成
，它们在同一直线上，若
，则方向相同；若
，则方向相反；若
，则变成零向量。
五、若n阶矩阵A有一个特征值为零，问A是否是可逆矩阵？
答：A是不可逆的，实际上，n阶矩阵A有一个特征值为零是A为不可逆矩阵的充分必要条件。证明如下：若A有一个特征值为
，相应的特征向量为
，则有
。这说明线性方程组
有非零解，即
，A不可逆。反之，若A可逆，则
必有非零解
，于是
，即A有特征值0.该结论的等价说法是：矩阵A可逆的充分必要条件是A的特征值都不等于零。
六、假定两个矩阵等价，它们是否相似？又假定两个矩阵相似，它们是否等价？哪些矩阵与单位矩阵等价？哪些矩阵与单位矩阵相似？
答：如果
，那么就存在满秩矩阵
，使
成立。如果
，那就有满秩矩阵
，使
因此，如果
，令
，则有
，所以
，反之因为
不一定等于
，所以两个矩阵相似必等价，等价不一定相似。任何满秩矩阵都可用初等变换化为单位矩阵，所以满秩矩阵与单位矩阵等价。设
，则存在可逆矩阵
，使
成立，即
，所以只有单位矩阵才与单位矩阵相似。
七、若
通过
与
相似，而且
通过
与
相似，试问：
与
相似吗？
答：相似。根据题意可得


令
，则
，即
通过
与
相似。
八、相似矩阵有相同的特征值，反之，有相同特征值的矩阵是否一定相似呢？
答：不一定。容易找到反例说明有相同特征值的矩阵未必相似，例如设

，

由于上三角矩阵的特征值就是对角线上的元素，所以A和B有相同的特征值，但前面已经知道，与单位矩阵相似的矩阵只有单位矩阵本身，所以A和B不相似。
九、典型例题
例1  （1）若A2 = E，证明A的特征值为1或
1；
（2）若A2 = A，证明A的特征值为0或1.
证明（1）

（2）


例2  设
阶方阵
有特征值
，求
的特征值；若
可逆，求
的特征值。
解：由题设可知，存在
,使得
，等式两边同乘以
可得

，所以
的特征值为
。
因为
，所以
的特征值
为
。
当
可逆时，
，故
的特征值
，
。
故
的特征值为
。
由于
，得
，即
，故知
有特征值
。
同理
。故
的特征值为
。
例3  求矩阵
的特征值和特征向量。
解：特征多项式为


。
故
（二重根）。

时，求解



。
所以
就可以写成


令
，得基础解系
。

就是矩阵
的对应于
的特征向量。全部特征向量为
。

时

所以
就可以写成

取
得

取
得


均为矩阵
的
的特征向量。其全部特征向量为
，其中
，
不全为零。
例4  设


解 (1）

，












(2）

例5  计算

解






，












例6  设


A与B相似.
求a,b的值；
（2）求可逆矩阵P,使
=B.
解 （1）A与B相似，故A与B有相同的特征多项式，即：

   
（2）


，





最后解得可逆矩阵
使得

例7  设A =
与对角阵相似，求x，y满足的条件.
解  



由于
与对角矩阵相似，
，
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