西交《线性代数》faq（五）

欧阳老师

西交《线性代数》FAQ（五）
线性方程组
一、齐次线性方程组
系数矩阵的秩
，当
（
为未知量个数）时，方程组

的基础解系所含向量的个数是多少？基础解系唯一吗？
答：当
时，方程组
的基础解系所含向量的个数为
。基础解系不唯一。任何
与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。
二、设
，
为非齐次线性方程组
的两个解，且
，你能根据非齐次线
性方程组解的结构写出方程组
的通解吗？
答：根据非齐次线性方程组解的结构，非齐次线性方程组
的通解等于非齐次线性方程组的一个
解加上对应齐次线性方程组的通解（基础解系的线性组合）。
从
的解
，
为4维向量看出，此方程含有
个未知数，又由于
，所以基础解
系所含向量个数为
。根据非齐次线性方程组解的性质，知
是齐次线性方程组
的解，也是此方程组的基础解系。取非齐次线性方程组的一个解
，则非齐次线性方程组
的通解为：

（
为任意常数）
三、非齐次线性方程组
的解的线性组合是否仍是它的解？
答：不一定。比如，方程组
有解
，
，但
不是此方程
的解。而
却是此方程的解。
四、若线性方程组


的方程的个数小于未知量个数，即
，且都小于矩阵A的秩
，问方程组是否一定有无穷多解？为什么？
答：不一定。因为这些条件并不能保证上述方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即方程组不一定有解。
五、典型例题
例1  线性方程组


当
为何值时方程组有解，有解时解的情况如何？
分析：因为增广矩阵的秩与
的取值有关，所以选择
的值，使

解

所以当
时，有
，方程组有解且有无穷多解。
例2   设线性方程组
的增广矩阵经初等行变换后化为


求方程组的通解。
分析：将阶梯形矩阵继续化为行简化阶梯形矩阵，求出方程组的一般解，然后求特解，相应齐次方程组的基础解系，写出方程组的通解。
解：   

得到方程组的一般解为
               
     （其中
是自由元）
令
，得
的一个特解

再由相应齐次方程组的一般解
               
     （其中
是自由元）
令
，得
的一个解向量

令
，得
的另一个解向量


是
的一个基础解系，于是方程组的通解为





其中
为任意常数。
例3  设线性方程组
I
             II

（1）求方程组I，II 的基础解系。
（2）求方程组I，II 的公共解。
解 （1）方程组I的对应矩阵是



，所以可以直接得出基础解系为
，

方程组II对应的矩阵是



，直接得出基础解系为
，

（2）求方程组I，II的公共解，就是求方程组
的解，因为

，直接求解，得方程组I，II的公共解是
，其中
是任意常数。
例4  设n阶方阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组
的通解为          .
解：记
，由于n阶方阵A的各行元素之和均为零,  所以
，

且A的秩为n-1，所以，
就是齐次线性方程组
的基础解系，
所以，线性方程组
的通解为

例5   已知线性方程组


（1）
满足何种关系时，方程组仅有零解？
（2）
满足何种关系时，方程组有无穷多组解？并用基础解系表示全部解？
解：系数行列式


（1）当
时，
，方程组仅有零解，即

（2）分四种情况考虑：
第一种情况：当
时，有


由
写出一般解为
，方程组的全解为
（
为任意常数）
第二种情况：当
时，有


由
写出一般解为
，方程组的全解为
（
为任意常数）
第三种情况：当
时，有


由
写出一般解为
，方程组的全解为
（
为任意常数）
第四种情况：当
时，有


由
写出一般解为
，方程组的全解为
（
为任意常数）
例6   设n维向量(1, (2, (3线性相关，(2, (3, (4线性无关。
试证： （1）(1可由(2, (3线性表出。
       （2）(4不可由(1, (2, (3线性表出。
证明：
（1）由于(2, (3, (4线性无关，则(2, (3线性无关。又由于(1, (2, (3线性相关，故(1可由(2, (3线性
表出。
（2）由（1）可设(1=k2(2+k3(3 ，应用反证法，设(4可由(1, (2, (3线性表出
即 (4=l1(1+l2(2+l3(3=l1(k2(2+k3(3)+l2(2+l3(3
         =(l1k2+l2)(2+(l1k3+l3)(3
故可得出(2, (3, (4线性相关，与已知矛盾。
所以(4不能由(1, (2, (3线性表出。本内容由易百网整理发布
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