西交《线性代数》faq（二）

Andy老师

西交《线性代数》FAQ（二）
矩阵
一、什么样的两个矩阵相等啊？模样不一样但对应方程的解是一样的，两个矩阵相等吗？
答:两个矩阵必须是完全一样的，对应位置上的元素完全相同才称为相等。所以模样不一样的矩阵一定不一样。而且大家知道如果两个矩阵对应的行列式值相等，这两个矩阵也不相等。
二、判断：两个同阶单位矩阵的和、差、乘积仍是单位矩阵
答:这句话是错误的 ，例如单位矩阵对角线元素必须是1，两个单位矩阵的和对角线元素是2，差
的对角线元素是0，所以肯定是不对的。
三、设A是一个m×n矩阵


经过一系列行初等变化可以把A化成阶梯形矩阵，对吗？
    答:是的，任何矩阵都可以通过初等行（列）变换变成阶梯型矩阵。
四、A和B都是n阶矩阵,若AB可逆,则A和B都可逆．如何证明？
答:若AB可逆，则|AB|不等于0，|AB|=|A||B|,从而得出|A|和|B|都不等于0，所以A,B都可逆。
五、证明：秩数为r 的矩阵可表示成r 个指数为1的矩阵之和。
提示：任意一个秩数为r 的矩阵都可以通过初等变换使得其与一个初等矩阵等价，这个初等矩阵是
对角线元素为r个1和n-r个0，其余元素全为0的一个矩阵，这个矩阵就可以表示成r个秩数为1的矩阵之和。
六、B是方阵，那么 AA-BB=(A+B)(A-B)吗？
    答:不等于，一般矩阵相乘交换律不成立。即一般来说，AB≠BA，所以上式不成立。其实矩阵乘法
运算也不满足消去律，AC=BC，C≠0，不能得出A=B。
七、典型例题
例1　设
，
，求
。
解：
，因此有

，
。
例2　设
，求
。
解：

，

故
，但
；又
，所以
。
例3　设
是两个方阵，满足
。证明：
当且仅当
。
证明：若
，则有
，
即
，从而有
。反之，若
，则有

。
例4　设
，求
。
解：

，从而

，

例5　设
是一个
阶实对称矩阵（即
中元素都为实数），满足
，证明
。
证明：设
，则
，由
知，
，考虑
主对角线上的元素：
，
，
，
，由
知，这些主对角元都为
，又因为
为实数，
，故
，因此
。
例6　设
是两个同阶（反）对称矩阵，证明：
是对称矩阵的充分必要条件是
与
交换。
证明：因为
，因此
是对称矩阵的充要条件是
，即
与
交换。
例7　单位矩阵
是可逆矩阵，且
。
例8　零矩阵
不是可逆矩阵，因为对任意矩阵
，有

例9　设
，则
可逆的充分必要条件是：
。且若
可逆，则

。
证明：由
，故
可逆的充分必要条件是：
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