西交《线性代数》faq（三）

网院作业

西交《线性代数》FAQ（三）
方阵、逆方阵
一、设
，问：
与
的关系如何？
答：
；
；

因为
，
，
又
，所以
。
二、如果
的元素都是整数，且
或
，则
的元素也是整数。为什么？
答：因为
，所以
可逆，又
的元素是整数，
的伴随矩阵
的元素也是整数，而


故
的元素也是整数。
三、设
为单位矩阵，
是与矩阵
同阶的方阵。试说明：若
，则等式

中哪些总是成立？哪些不成立？
答：由等式
可得
或
，由此可知
都是可逆的，即
存在。
在等式
两边分别左乘
、右乘
，可得
，即
。类似的，在等式
两边分别左乘
、右乘
，可得
，即
。而其它等式不成立。
四、求逆矩阵的方法有哪些？
（1）伴随矩阵法     （2）初等变换法     （3）利用定义求
五、典型例题
例1  求下列矩阵的逆矩阵
（1）
  （2）

解：对于（1）利用公式
计算

，

所以

（2）也可用伴随矩阵方法求，我们用第2种方法初等变换法求解



，故

例2  设
是
阶方阵，
，求

解：因为
，故有
，于是可得

，所以
可逆，且
。
例3  分块对角矩阵的逆矩阵：若
，其中
都是方阵，则称
为分块对角矩阵。分块对角矩阵
的行列式
。
若
则
。
若
，其中
都是方阵，且
，则
。
例4

解：例4


证明：



所以
可逆，且





所以
可逆，

例5  设方阵B为幂等矩阵（即对正整数k，
），
证明：A是可逆矩阵，且

证明：









例6  用克莱姆法则解方程组

.
解:





线性方程组有解，







      


   

例7  


解:
   
.
例8  问
为何值时，齐次线性方程组
有非零解.
解：
，
由齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式
得


故当
或
或
时，齐次线性方程组有非零解.
例9   

有非零解？
解
时，方程组有非零解.本内容由易百网整理发布
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