解析
一般情形下，若 D 可表示为 ，且 为 D 内的连续函数，则有
可以认为将二重积分 化为定积分 与之积。
例题2?计算 ，其中 D 为 与 围成的封闭区域。
解析 积分区域 D 的图形如图所示。
由 可解得两条曲线的交点（-1，－1），（0，0），（1，1）
D 可以分为两部分。记第一象限部分为?D 1 ，第三象限部分 为 D 2 。
如果先对 y 积分，后对 x 积分。作平行于 y 轴的直线与区域 D 相交，沿 y 轴正方向看：
在 D 2 内入口曲线为 ，出口曲线为 。因此 D 2 可以表示为
在 D 1 内入口曲线为 ，出口曲线为 。因此 D 1 可以表示为
于是
※注意 画出积分区域 D 对于正确地选定二次积分限是有益的。事实上，如果不画出积分区域，可能认为
而导致错误。
例题3?计算 ，其中 D 由 所确定。
解析 积分区域 D 为以原点为圆心，半径为 2 的圆域，可以省略不画。
由于积分区域 D 关于 y 轴的对称，依二重积分的对称性质（见本章例题 2），考虑被积函数关于x 的奇偶性。易见 关于 x既非奇函数，也非偶函数。但是，若记 的奇函数为 x 的偶函数。因此由例题 2 中的结论有
由于 D 也关于 x 轴对称 为 y?的奇函数，因此
故
※注意 如果积分区域 D 关于坐标轴对称，应该注意考虑被积函数关于 x 或 y 的奇偶性，可能简化运算。
例题4求 ，其中 D 为所包围在第一象限内的区域。
解析 积分区域 D 的图形如图所示。
利用极坐标系。 D 的边界曲线
可以表示为 可以表示为可以表示为可以表示为 于是 D 可以表示为
故
上式中利用了 这是由 而得来。
例题5?计算三重积分 ，其中 的边界曲面 所围成的区域。
解析 积分区域 的图形如图所示。
解法1 所给积分区域 为球，因此
可考虑利用球面坐标系计算三重积分。
此时 的边界曲面
可以表示为 。区域 可以表示为
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发表于 2021-3-16 18:15:35
