西交《高等数学（下）》拓展资源（三）

奥鹏作业答案

西交《高等数学（下）》拓展资源（三）
第十章  微分方程
戈珀茨(Gompertz)函数
戈珀茨函数所描绘的曲线称为戈珀茨曲线。经济学中的许多经济现象也具有戈珀茨函数的性质。例如在经济预测中，经济发展的三个阶段：初始期，发展期和饱和期可用戈珀茨曲线来描述（如图1-3所示）。


戈珀茨函数是微分方程组

，                        （1-8）
的解

，                （1-9）
戈珀茨函数有以几个特点：
(1)、极限理论知，当
时，
与
是等价无穷小，此时（1-9）式近似为

。                     （1-10）
（1-10）式说明，经济增长的早期是按指数增长的。
(2)、由于
，所以，（1-10）式说明，当增长到一定阶段，经济总量的大小趋于稳定，它稳定值在为
的大小。
(3)、可以求出，点
为戈珀茨曲线的拐点，也就是从
时刻开始，经济增长的速度的变化由递增转为递减。
例1　求微分方程
的通解。
解析　将所给方程改写成如下形式


　　 ?可知它是变量可分离方程分离变量，得

.
　　 ?积分后得

，
　　 ?即?????????????????????????????????

　　 ?或?????????????????????????????????

　　 ?于是得所求通解为

(C是任意常数).
※注意　当积分后出现对数函数时一般可将任意常数取为
或
的常数倍的形式，以便利用
　　　　对数运算性质化简结果.本例中将任意常数取为
，才能得到上面较为简洁的通解结果.
求微分方程
满足初值条件
的特解. 　解析　将所给方程分离变量，得


　　??两端同时积分，得


　??　即得所给方程的通解为

.
　??　将初值条件：
代入，得
，因此所求特解为


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