西交《高等数学（下）》拓展资源（一）

网院作业

西交《高等数学（下）》拓展资源（一）
第八章  多元函数微分学及其应用
例题1? 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。


　　　　
解析? 函数 z 是两个函数的和，其定义域是这两个函数定义域的公共部分，即由
??? ?
，得
,即
.由
得
?????
于是，函数的定义域为

例题2? 设
求

　　　　
解析?

例题3? 设
　求

解析? 令
　由此解出


?????? 代入上式，得


????????

????????

???????再将
　分别换为
　得


例题4? 讨论下列函数的连续范围：
　　　　（1）

　　　　（2）

　　　　
解析? （1）此函数为二元初等函数，因此它的定义区域就是它的连续范围，所以该函数的连续范围
　　　　　 是
，即
。
?????????? 此不等式表示的区域是圆
的外部。
??????（2）此函数的连续范围是除去
的点集，即在
平面上，除去 x
?????????? 轴，y 轴及抛物
的所有点，函数都是连续的。
例题5? 求下列函数的一阶偏导数：
???????（1）
　 （2）
在点（ 2 ， 2 ， 1 ）处的偏导数。
解析? （1）
???

?? ?? （2）对
求偏导数，将
看作常数，按幂函数求导，得


?????????? 对
求偏导数，将 x,z 看作常数先按指数函数求导，对
按幂函数对
求导得


?????? ??? 对z 求偏导数，将
看作常数先按指数函数求导，对
按指数函数对 z 的求导得


????? ???? 在点（2，2，1）处的偏导数，即将（2，2，1）代入上述三个偏导函数，得


※注 ?求初等函数在某点的偏导数，一般是先求出偏导函数，然后再将该点的坐标值代入。也可以先将函数中的其余变量用该点的相应坐标值代入后，再对指定的那个自变量导会更方便些。
例题6? 求
的二阶偏导数。
解析?

?????

※注? 求多元函数的二阶偏导数，是将已求出的一阶偏导函数，作为新的函数，继续对自变量求偏导数，即得到二阶偏导数。
例题7? 设
求
。
解析? 此题可用下述两种方法：
解法 1? 用全微分公式
求全微分，其中


????????于是


解法 2? 用微分形式不变性求全微分：



??????? 由上式，显然又可得到两个偏导数，即


例题8 设
确定 z 为
，
的隐函数，求
。
　　　　
解析? 此题可用下述两种方法：
解法 1? 用公式法，令
， F 看作
的三元函数，则有


??????? 于是


注意? 用公式法求隐函数的偏导数时，将
看成是三个自变量
的函数，
??????即
处于同等地位。
解法 2 ?将方程中的 z 看作是由此方程确定的
隐函数，从而

??? （*）
??????? 为一恒等式。将其两端分别对 x 求偏导数，得

。
??????? 解得


??????? 将（*）两端对 y 的偏导数，得


??????? 解得


注意? 在用第 2 种方法将方程两端对 x ， y 求偏导数时，要将 z 看成x,y的函数，请读者对该题的两种解法都要搞清楚。
例题9 求函数
的极值。
　　　　
解析? 第一步，由极值存在的必要条件，求出所有的驻点。由


???????解方程组，得驻点为


???????第二步，由二元函数极值存在的充分条件，判断这两个驻点是否为极值点。

。
???????在点（0，0）处，
，所以点（0，0）是极?大值点。极大值为
。
?????? 在点（2，2）处，
所以点（2，2）不是极值 ?点
注意? 函数的驻点不一定是极值点。例 14 中的（2，2）点是驻点，但不是极值点；有的函数的偏导数不存在的点处也可能取得极值。因此，极值点也不一定是驻点。还要检查偏导数不存在的点是否为极值点。
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