西交《高等数学(下)》FAQ (二)
第九章重积分
一．为什么说二重积分与三重积分是定积分的推广问题？
答 只需分析上述几个概念的几何解释、物理解释及概念的数学结构，就可以明了上述结论。
当 时，定积分 从几何上可以解释为直线 ， 曲线 与轴所围成的曲边梯形的面积。当 时，二重积从几何上可以解释为以区域 D 为底，以 为曲顶的曲顶柱体的体积。
当 时，从物理上定积分 可以解释为密度为 的非均匀直线线段杆的质量。当 时，二重积分 ?可以解释为密度为的非均匀平面薄片 D 的质量。当 时，三重积分 可以解释为密度为 的空间形体 的质量。
※说明 二重积分、三重积分的性质与定积分的性质相仿。 学习本章应该与定积分对照，将两章的知识结构加以比较，这有助于掌握重积分的知识。
二．计算二重积分时，选择二次积分次序的依据是什么？
答 计算二重积分的基本思想是将其化为二次积分计算。在直角坐标系中，将二重积分化为二次积分时，可以考虑先对 y 积分后对 x 积分的二次积分；也可以考虑先对 x 后对 y 的二次积分。这两种积分次序不同的二次积分的计算量可能相差很大，甚至于是其一容易计算，而另一个不能用=初等函数形式表出。这表明计算二重积分时，选择积分次序是一个重要的问题。
选择积分次序要考虑两个因素：被积函数；积分区域。
其原则是要使两个定积分都能积出来，且计算尽量简单。
例如求 ，其中 D 为由
所围成的区域。其被积函数比较简单，但是由积分区域 D
可知，如图所示。若先对 y 积分，后对 x 积分，则需先将积分区域 D 分割为两个子区域。如果先对 x 积分，后对 y 积分，则直接可以进行。 又如求 ，其中 D 为
与 所围成的区域。如果先对 x 积分，则 将不能用初等函数表示出来，因此只能先对 y 积分后对 x 积分。
三．在直角坐标系中怎样确定二次积分的积分限？
答 选定积分次序之后的关键问题是确定二次积分限，其一般步骤为：
（1）设区域 D 的边界曲线与平行于坐标轴的直线至多有两个交点，画出积分区域 D 的图形。
（2）若先对 y 积分，需先将积分区域 D 在 x?轴上投影，其最小值 a?取为对 x?积分的下限，其最大值 b 取为对 x?积分的上限。
（3）先对 y 积分时，作平行于 y 轴的直线与区域 D 相交。沿 y 轴的正向看，所作出的直线与区域 D 相交的边界线 （又称入口曲线），作为积分下限；离开区域 D 的边界曲线 （又称出口曲线），作为积分上限。即
其特点是：内层积分限为外层积分变量的函数；而外层积分限必定为常量，且下限值小于上限值。
四． 为什么要考虑交换积分次序？怎样交换积分次序？
答 如果对于某个给定积分次序的二重积分，若被积函数的原函数不能用初等函数形式表示出来，或者积分的计算量很大，则常考虑采用交换积分次序的方法来解决。其一般步骤为：
（1）先依给定的二次积分限，写出积分区域 D 的范围，并依此作出区域 D 的图形。
（2）再依区域 D 的图形，按前述确定积分限的方法，确定出另一种积分次序的积分限。
五．什么情形下宜于利用极坐标计算二重积分？
答 有些二重积分不宜在直角坐标系中计算，甚至于在直角坐标系下不能计算出其值，常考虑利用极坐标计算。
一般说，如果被积函数为 形式或积分区域为圆域、扇形域、圆环域等时，利用极坐标计算二重积分比较方便。
六．在极坐标下怎样将二重积分化为二次积分？
答 极坐标系下的二重积分化为二次积分来计算，其确定积分限的方法与直角坐标系下的方法相似。
设过极点的射线与区域 D 的边界曲线至多有两个交点，且二次积分次序为先对 r?积分，后对积分：
若极点的区域D 的外部，且区域 D 被过极点的两条射线与夹住（设 ，两条射线?与??将 D 的边界曲线分为??两部分 ，因此 D 可表示为?
若极点在区域 D 的边界线上，且区域 D 被过极点的两条射线??与 ?夹住（），D?的边界曲线为 ，则 D 可表示为
若极点在区域D内，且区域D的边界曲线为，则D可表示为
七．在直角坐标系中怎样确定三次积分的积分限？
答 确定三次积分的积分限的一般步骤为：
（1）画出积分区域 的图形。
（2）设空间区域 的边界曲面与平行于坐标轴的直线至多有两个交点。
设先对 z?积分，作平行于 z?轴的直线与空间区域 相交，沿 z?轴的正方向看，若入口曲面 ，出口曲面为 ， 则有 将投影到 面上，设其投影域为 D 。
再对 y?积分，作平行于 y?轴的直线与区域 D 的相交，沿 y?轴正方向看，设入口曲线为，以 为积分下限；设出口曲线为 ，以为积分上限即有
最后对 x 积分。将区域 D 的投影到 x 轴上，设投影的最小值为 a，以此作积分下限；设投影的最大值为 b，以此作积分上限，即有 。
故有
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发表于 2021-3-16 18:12:25
