西交《高等数学（下）》faq（三）

Andy老师

西交《微积分（下）》FAQ (三)
第十章 微分方程
一． 微分方程的通解一定包含方程的全部解吗？
答：首先我们应准确把握解和通解的概念。
　　　解：凡能满足微分方程的函数就叫解。
　　　通解：解中所含任意常数等于方程阶数的解叫通解。
　　　讨论方程
的解。
　　　解此方程：分离变量：

　　　　　　　　两边积分：

于是得通解：
。
　　　由任意常数C取定的一个值，所得函数都是方程的解。
如：
时，
是解，
是解等等，似乎通解

包含了全部解。
　　　然而我们很容易验证
是方程的解，但
不能由通解得到，就是说无论c取何值，
由
都得不到
这个常数函数。这时，称
为方程的奇解。
　　　由此，可知：通解不一定能包含全部解。方程的全部解含通解和奇解。当然，如果没有奇解，那么通解就给出全部解
二．我们可以验证
都是微分方程　
的解，则
是任意常数）是方程的通解。这个结论正确吗？为什么？
答：不正确。因为方程是2阶方程，通解中应只含2个任意常数，所以
不是通解，事实上这样的
根本不是方程的解。
　　　我们可以证明
是方程的两个线性无关的解，所以方程的通解应是
。
三．我们可以验证
是微分方程
的解，又由于
中含
两个任意常数，所以y是方程的通解。这种认识对吗？为什么？
答： 不对，因为
，令
，
则
，只含一个任意常数，它不是二阶方程的通解。由此说明，不能从表面看常数的个数，而应审定任意常数是否可合并为1个。
四．能否认为微分方程的解不是通解就是特解？
答：结合方程求解先把通解，将解的概念准确理解，以助于回答该问题。
　　　求
的通解。
　　　解：
，
，所以通解为：
　　　　　　　

如果给定初始条件，求出
，则得特解，如设
　　
。
　　将
代入y式：

　　将
代入
于是方程满足初始条件
　　　
的特解为
。
　　 我们可验证
是方程的解，它只含一个任意常数，不是通解；终究含常数，也不是特解。
　　至此，我们知道了方程的解的概念确切理解是：解，通解和特解。
五．设
是方程
的两解，为什么
不一定是方程的通解？（
是任意常数）
答：
是解，即有

　　　　
是解，即有
。
因为

　　　　　　　

　　　　　　　

若
是解，应有　
，即
　　

当
时，充要条件是
或
。
　　由此可知，一般
不是通解，若
时，又有
，含一个任意常数，可以是方程的通解。
所以只有满足
时，它才构成通解。
六．实际问题中如何建立微分方程？
答：微分方程理论是研究动态经络模型的重要工具. 首先要找到哪些是变化量哪些是因变量，以及他们之间的变化关系，即函数关系。再令此函数关系的表达式等于所求微分即可。下面举例说明在经济活动中如何分析建立微分方程.
　　例. 设某种商品的需求弹性为
（k为常数），
　　求该商品的市场需求函数
，（这里Q为需求量，P为价格）.
　　解：根据需求弹性概念，有
　　　　　　　　　　

　　于是，依题意得微分方程：　

　　分离变量，得：
　　　　　　　　　　

　　两端积分：　

　　从而：　
.
　　由此例可知，若已知需求弹性，通过解微分方程可建立需求量依赖于价格的需求函数.
七．什么是 Robertson增长律？

设
为现时值（如销售额），
为饱和水平，若增长速度与
成正比，与
成正比，则

　　　


解之可得

　　　


这里
为任意常数，此曲线称为逻辑曲线.

八．什么是市场价格动态学？

设某商品的供求函数如下：

　　　
　　　


　　　
　　


又设任意时刻价格变化率与该时刻的超额需求
成正比，故满足一阶方程：

　　　



A为调节系数.代入得

　　　


即
.解得

　　　
，

其中，
.




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