西交《高等数学（上）》拓展资源 (四)

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西交《高等数学（上）》  拓展资源(四)
第四章  不定积分
例题1　下列两个积分性质
　　　　

　　　　为什么其右端不加任意常数 C ？
分析　凡是
则意味着它是
的全体原函数，即积分号包含了任意常数。所以只要有积分号，都可不添任意常数项。 一旦没有积分号，就要立即添上任意常数项，否则是错的 ，例如下面的运算是正确的：
　　　　

　　　移项整理，得
　　　　　　　　　

　　　如果不添加任意常数项，而是写成
　　　　　　　　　

　　　则是错误的。
例题2　检查运算
是否正确？  
分析　只需验算
，可知上述运算不正确。其原因在于这里错误地利用了基本积分公式
，忽视了所给问题与公式的差异。由微分形式不变性可知
因此应有

　　　相仿有
　　　　　　　

　　　等等。这正是“凑微分”求积分的依据。
例题3　对于同一个积分施以不同的积分方法，若得出的结果形式不同，是否必定有运算错误？
分析　不一定。为了验算运算是否正确，只需对所给结果求导数，看其是否等于被积函数。事实上，如果运算正确，只要结果形式不同，那么这些不同的原函数之间只是相差一个常数。
例题4　求下列不定积分
　　　　（1）

解析　（1）将被积函数的分子按完全立方公式展开，分项相除化为幂函数之代数和，即
　　　　　　　

　　　　　 然后利用不定积分的基本性质，分项积分得
　　　　　 原式

　　　　　　　　

　　　　　　　　

例题5　求下列不定积分
　　　　（1）
；
　　　　（2）

解析　（1）用凑微分法，因为
，于是可得
　　　　　 原式

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　（2）先将被积函数进行三角恒等变形，再用凑微分法求积分
　　　　　 原式

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　
.
例题6　求下列积分
　　　　（1）
；
　　　　（2）
；
　　　　（3）
。
解析　（1）为化掉被积函数中的根号，由
，可令
则
，于是可得
　　　　　　原式

　　　　　　　　

　　　　　　　　　=
　（其中
）
　　　（2）作变量代换，由
，可令
，
，则
，于是可得
　　　　　　原式

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　（3）为了消去被积函数中的根号，由
，可令
，则
。于是可得
　　　　　　原式

　　　　　　　　

　　　　　　　　　=

　　　　　　　　

例题7　求下列不定积分：
　　　　（1）
；
　　　　（2）
。
解析　（1）被积函数
是乘积式，用分部积分法求积分，可令
，则有

　　　　　 由分部积分公式，可得
　　　　　　原式

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　（2）被积函数虽然不是乘积式，但是含有对数函数，也需用分部积分法求积分，可令
　　　　　　　
，
　　　　　　　
.
　　　　　 于是可得
　　　　　　原式

　　　　　　　　

　　　　　　　　

例题8　设
的原函数为
，求

　　　　
解析　由题设可知，
　　　　　

　　　利用分部积分公式，可得　

　　　　　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　　　　

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