西交《高等数学（上）》拓展资源 (五)

沙鸥老师

西交《高等数学（上）》拓展资源(五)
第五章 定积分及其应用
例题1　设
为连续函数，
，求
.  
解析　
是一个常数，记为 A ，于是　
.
　　　将上式两边从 0 到 1 作定积分，有　
，
　　　即
。
　　　所以
，即
。
例题2　计算下列定积分：（1）
；　 （2）
。
解析　（1）将被积函数作恒等变形：　

　　　　　 因为
在区间 [1，2] 上连续，且
是
的一个原函数，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，有
　　　　　原式

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　（2）函数
在区间
上连续，且
是
的一个原函数，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，有
　　　　　　原式

例题3  求曲线y=ex，y=e-x和直线x=1所围成平面图形的面积A以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx.




例题4   设生产某种产品x（百台）时的边际成本
（万元/百台），边际收益
（万元/百台），试求：
(1)产量由1百台增加到5百台时的总成本与总收入各增加多少？
(2)产量为多大时，利润最大？


例题5    在抛物线y=-x2+1上求一点p(x1,y1), 0<x1<1，使过该点P的抛物线的切线与抛物线及两坐标轴所围图形的面积最小.
解：过该点P的抛物线的切线斜率为

过该点P的抛物线的切线方程为

即

则使过该点P的抛物线的切线与抛物线及两坐标轴所围图形的面积为

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