西交《高等数学（上）》拓展资源 (二)

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西交《高等数学（上）》拓展资源(二)
第二章  导数与微分
　导数是微积分中的重要概念
导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
　　导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。
　　y=f(x)的导数有时也记作y'，即 f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x
　　物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
　　以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。
　　注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。
　　      2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。
例题1　设
，求
。
解析　求高阶导数并非是简单的反复求导。求已知函数的高阶导数，关键是在每次求出导运算前注意恒等变形或进行整理，找出规律性，如果题中给出求
，可能诱导读者逐次求
，如果这样作，则是走入了误区。
　　　由于所给函数的分母为二次函数，可以分解为两个一次因式之积，即

。因此


　　　即

　　　所以，

　　　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　　

　　　由此可得出规律，并依此规律可得
例题2　设
，求

解析　求函数的微分有两种常见的方法。一是由微分和导数的关系可知，
。因此，欲求
，只需先求出
再乘以
即可。
　　　由于　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　因此　

　　　另一种方法是利用一阶微分形式不变性，直接求微分。
　　　　

　　　　　　

　　　　　　

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