西交《高等数学（上）》faq（三）

欧阳老师

西交《高等数学（上）》FAQ（三）
第三章 微分的应用
一、在教材中给出了导数的哪些应用？
导数的应用在教材中可归为两类问题：
　　（1）利用导数来研究函数的性态：函数的增减性、函数的极值、曲线的凹凸性与拐点、曲线的弯曲程度（曲率）、曲线的渐近线等，描绘函数的图形。
　　（2）利用导数来研究最大值、最小值的应用问题。
二、最值与极值有何不同？
极大（小）值上指函数在
的某邻域满足
( 或
) ，因此说极值是函数在局部范围的性质。
　　而函数的最大（小）值是指
( 或
) 对
上所有点
都成立，因此说最值是函数在区间
上的整体性质。
三、极值点与拐点的表示法有什么不同？
极值点
是
达到极值的横坐标
，常称
为函数
的极值点。
　　而拐点为曲线
上的点
，需用点的横、纵坐标来表示，常称
为曲线
的拐点。
四、怎样利用导数来判断函数的单调性？
利用导数来判断函数的单调性往往比用定义判断函数的单调性方便。
　　根据导数的性质，在
内若
，则
在
内严格单调增加。具体数值。因此利用导数判断函数
在
内的单调性可采用下列步骤：
（1）求出
，
的点及导数不存在的点。
（2）上述点将
分为有限个子区间，对这些子区间逐一判断
在该区间内的符号。
若在某个子区间内
，则可判断
在该子区间内严格单调增加。若在某子区间内
则可判断
在该子区间内严格单调减少。
五、怎样利用导数求函数
在
内的极值点？
　求
在
内极值点的通常步骤是：
　　（1）求出
在
内的驻点
，即满足
的点（
）
　　（2）求出
的导数在
内不存在但函数连续的点
；
　　（3）若
在
，
的邻域内可导（不包含
），则可以利用极值的第一充分条件判定。当
在
和
点的两侧异号时，则
，
为
的极值点；若
在
或
的两侧同号，则
，
不为
的极值点。
（4）若
存在，且较易求出，则可以利用极值第二充分条件判定。若
，则
为
的极小值点；若
，则
为
的极大值点。
　　若
，则极限的第二充分条件失效。
六、怎样利用导数求连续函数
，在
上的最值与最值点？
求连续函数
在
上最值与最值点的通常步骤为：
　　（1）求出
在
内所有驻点及导数不存在的点
。
　　（2）比较
。其中最大（小）者，即为
在
上的最大（小）值、相应的
即为最大（小）值点。
七、怎样利用导数求曲线
的 凹凸区间与拐点？
若曲线
为
内的连续曲线，求其拐点与 凹凸区间的通常步骤为：
　　（1）求
及
在
内二阶导数不存在的点

；
　　（2）如果
为
内的连续函数，求出使
的点
；
　　（3）若在上述点
两侧
异号，则曲线上相应的点
为曲线
的拐点。
　　　　 在
的范围内，曲线
为 凹的。
　　　　 在
的范围内，曲线
为 凸的。
八、描绘函数
的图形的步骤为何？
描述函数
的图形的通常步骤为：
　　（1）确定函数的定义域。
　　（2）判定函数的奇偶性与周期性。
　　（3）求出
， 确定出
的驻点及导数不存在的点。
　　（4）求出
， 确定出
不存在的点。如果
为连续函数，求出使
的点。
　　（5）确定曲线
的渐近线。
　　（6）将上述所求点按
由小到大的顺序列在一个表中，并将定义域用上述点分隔为一些子区间。分别确定出在这些子区间内
，
的符号，从而确定
的性态。
　　（7）再适当增加几个特殊点，描绘图形。
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