西交《高等数学(专升本)》拓展资源（四）

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西交《高等数学(专升本)》拓展资源（四）
例题1　证明：

解析　不妨设
. 注意到
，可知
　　　                  

　　　将其认定为函数增量与自变量增量之比，可以考虑利用拉格朗日中值定理证之。
　　　证法 1 令
，则
在
上连续，在
内可导。因此
在
上满足拉格朗日中值定理条件，可知必定存在
，使
　　　　　　　

　　　　　　 注意到
，可得
　　　　　　　

　　　　　　 由此可得　

　　　　　　 当
时，可相仿得出上述结论 .
　　　证法 2 如果先将所给不等式变形：当
时，化为
，
令　
，
　　　　　 　则　
，
　　　　　　 因此
在
内单调减少。注意到
，可知当
时，
有　

　　　　　　 从而
。
　　　　　　 相仿，当
时，所给不等式可恒等变形为
，令
，仿上同样可证。
例题2　求

解析　先将所给极限变形，利用等价无穷小代换

　　　　　

　　　　

　　　　

例题3　求函数
的极值与极值点，并求相应曲线的拐点、凹区间与凸区间。
解析　所给函数的定义域为

　　　　

　　　令
可得 y 的驻点

　　　当 x = 0 时， y 不可导。
　　　　

　　　当
时，
存在。
　　　列表分析








0









+
0
-
不存在
-
0
+



-
-
-
不存在
+
+
+




凸
极大


凸
拐点
（0，0）

凹
极小


凹

　　　可知 y 的极大值点为
，极大值

　　　y 的极小值点
，极小值

　　　曲线的凸区间为
；曲线的凹区间为
．
　　　曲线的拐点为（ 0 ， 0 ） .
例题4　求
在
上的最大值、最小值、最大值点与最小值点
解析　
在
上有定义。
　　　

　　　令
可得
的驻点
由于考虑的范围是
，
而
不在
上，故应舍掉。
　　　由于　

　　　可知
为
在
上的最大值点；最大值
为
在
上的最小值点；最小值

例题5　曲线
，则（ ）
　　　　A 、没有渐近线；　　　　　　B 、仅有水平渐近线；
　　　　C 、仅有铅直渐近线；　　　　D 、有水平渐近线，又有铅直渐近线。
解析　只需依渐近线定义来判定。
　　　由于
, 因此曲线
有水平渐近线
,可知应排除 A 、 C.
　　　由于
，可知曲线
有铅直渐近线
，可知 B 不正确， D 正确。
　　　综合之，本例应选 D.
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