西交《高等数学(专升本)》faq（二）

奥鹏作业答案

西交《高等数学(专升本)》FAQ（二）
一、在什么情况下要考虑函数在一点的左右极限？
左极限与右极限是考察自变量 x 从某一确定方向趋于
时，函数的变化趋势。
　　研究函数
在自变量趋于其定义区间
端点时的极限只考虑单侧极限；研究分段函数在分段点处的极限时必须考虑左、右极限是否存在且相等。
　　有必要指出：
　　（1）
的充分必要条件为
.
　　（2）即使
与
都存在，也不能保证两者相等，即
也不一定存在，例如
　　　　

　　　
，所以
不存在 .
二、无穷小是否是绝对值很小的数？
无穷小在高等数学中占有极为重要的地位，必须注意：“无穷小”字面上似乎是讨论量的大小，有些初学者常把它与很小很小的数等同。这实际是一种误解。由无穷小的定义可以得知，无穷小是表达在某个变化过程中函数
的变化趋势为 |
| 无限地变小。如果
，则称
在
时为无穷小，所以无穷小并不是表达量的数值的大小。
由于
，所以零作为常数函数
在自变量的任何变化过程中都是无穷小 。因此可以说： 0 是无穷小中的唯一的数。而其它任何绝对值很小很小的数，都不是无穷小量，必须将无穷小量与绝对值很小很小的数区分开来，不可混为一谈。
　　相仿，无穷大也是描述函数在某变化过程中的变化趋势，不可将其与绝对值很大很大的数混为一谈。
三、“无穷大的倒数为无穷小”，能说“无穷小的倒数为无穷大”吗？
不能
　　这是因为数零也是无穷小量，而零没有倒数，正确的说法是：
　　若
为无穷小，且
，则
为无穷大 .
四、两个重要极限公式的结构形式有何特点？

，
　　

　　
.
　　其中
可以是满足条件
或
的任何函数。
如
　
等。
五、怎么理解
在点
处连续性的几个定义？
与极限的概念相仿，连续性也是描述在给定过程中函数的变化趋势。
　　函数
在点
处连续性的三种定义是等价的。它们的前提条件都是设
在点
的某邻域内有定义。其中：
　　（1）若
，则称
在点
处连续，意味着当自变量的增量
为无穷小时，函数的增量
也为无穷小，常称这个定义为连续性的无穷小形式定义。
　　（2）若
，见则称
在点
处连续 . 这意味着当
时，
以
为极限 . 常称这种定义为连续性的极限形式定义。
（3）对任意给定的
，存在
，当
时，总有
，则称
在点
处连续。
　常称这种定义为连续性的“
”形式定义。
　　　　 无穷小形式的定义形象地描述了连续性的特性。
　　　　 极限形式的定义把连续性与极限联系起来了。
　　　　 “
”形式的定义把连续性概念算术化，便于分析论证。
三种定义形式不同，但本质相同，这三种形式的定义有共同特性，构成了连续性的三个要素
　　　　1 °函数
在点
处有定义；
  2 °当
时，函数
存在极限；
  3 °极限值等于该点处函数值
。
六、从形式及本质来看，连续性与极限的“
”定义有何差异？
首先注意，极限的“
”定义只提示了极限概念的本质，并没有提供求极限的方法，但是，连续性的定义不仅提示了连续性的本质，而且提供了判定连续性的方法。因此可以说，连续性的定义是具有双重意义的定义。
其次，两者定义的形式不同。在极限的定义中，
在点
处有无定义无关重要，考察
当
时的极限问题并不考虑
在点
的情形，因此，定义中描述自变量的变化用“
”。而在连续性的定义中，说
在点
处连续，当然必须要求
在点
有定义，且当
时，


当然成立。
因此，连续性的“
”定义中，不使用
，而使用
。
七、基本初等函数连续性与初等函数连续性的提法有何差异？
基本初等函数在其定义域内为连续函数。
　　初等函数在其定义区间上为连续函数。
　　应该注意，基本初等函数的定义域都是区间或区间之并，而初等函数的定义域可能是一些孤立点集。如
的定义域为
为孤立点。　　因此
不连续，但是它是初等函数。本内容由易百网整理发布
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