西交《高等数学(专升本)》faq（七）

欧阳老师

西交《高等数学(专升本)》FAQ（七）
一、求二阶常系数齐次线性微分方程
的通解的步骤？
第一步：写出微分方程(1)的特征方程 r2 + pr + q = 0.
第二步：求出特征方程的两个根r1,r2 .
第三步：根据特征方程两个根的不同情形，写出微分方程(1)的通解.
    根据特征方程的根,可以写出其对应的微分方程的解如下:


二、n阶常系数齐次线性微分方程的解法及通解的形式？
n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是：


    其中，p1,p2,...pn都是常数.
   n 次代数方程
   

称为方程(3)的特征方程.
根据特征方程的根,可以写出其对应的微分方程的解如下:


从代数学知道, n次代数方程有n个根.而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每项各含一个任意常数.这样就得到n阶常系数齐次线性微分方程的通解.
      

三、镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R成正比,由经验材料得知,镭经过1600年后,只剩余原始量R0的一半,试求镭的量R与时间t 的函数关系.
解  由题意建立镭衰变的数学模型:




四、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y）处的切线斜率等于2x + y
解  由题意，得初值问题:
     


五、求常系数齐次线性方程
的通解和给定条件下的特解.


六、应用微分方程解决实际问题的思路？
应用微分方程解决实际问题，首先要分析问题，建立方程，并提出初始条件；其次求微分方程的通解，再根据初始条件确定所要的特解.
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