大工20秋《电路分析基础》辅导资料十二

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电路分析基础辅导资料十二主    题：  第四章  正弦交流电路的稳态分析（第1-2节）
学习时间：  2020年12月14日--12月20日
“不忘初心、牢记使命”主题理论学习：
守初心，就是要牢记全心全意为人民服务的根本宗旨，以坚定的理想信念坚守初心，牢记人民对美好生活的向往就是我们的奋斗目标；以真挚的人民情怀滋养内心，时刻不忘我们党来自人民、根植人民，人民群众的支持和拥护是我们胜利前进的不竭力量源泉；以牢固的公仆意识践行初心，永远铭记人民是共产党的衣食父母，共产党人是人民的勤务员，永远不能脱离群众、轻视群众、漠视群众疾苦。
摘选自《在“不忘初心、牢记使命”主题教育工作会议上的讲话》
内    容：一、本周知识点及重难点分布
表12-1 本周知识点要求掌握程度一览表

序号
学习知识点
要求掌握程度
本周难点



了解
熟悉
理解
掌握


1
正弦交流电的基本概念


★
☆

2
正弦量的相量表示及运算

★




二、知识点详解
☆【知识点1】正弦交流电的基本概念
本知识点对应大连理工大学版教材6.1节内容
直流电路：电路中的直流电流和电压，大小和方向不随时间变化。
正弦交流电路：电路中的电流和电压都是正弦交流电。
正弦稳态交流电路：在正弦交流电路中，若输入信号（激励）是同一频率的正弦交流电，则电路中任何一处的电压、电流（响应）也将是同一频率的正弦交流电。
交流电：大小和方向随时间做周期性变化且在一个周期内平均值为零的电流（或电压）。
正弦交流电：随时间按正弦规律变化的电流、电压。
正弦交流电流和电压统称为正弦量。时域范围内可用正弦函数表示，也可用余弦函数。
表达方式：分析正弦交流电路时，需先写出数学表达式（解析式），画出波形图。画正弦量的波形及写解析式前，必须先选定参考方向。用实线箭头（或实线正、负极性）表示所选定的参考方向。
参考方向：任意选取。一般电压和电流的参考方向取关联参考方向。
解析式：
----正弦电流的瞬时值
正弦量的三要素：变化的振幅值（
）；随时间变化的快慢（
）；初始值（初相位
）


（a）                 （b）
图12-1 正弦量的波形图
1、正弦量的三要素
（1）振幅值/最大值：正弦量瞬时值中最大数值。如：
。
如图：
称为正弦量的峰—峰值。


图12-2 正弦交流电的波形
（2）角频率
：单位时间内正弦量所经历的电角速度，反映正弦量的变化快慢，可用周期和频率表示。单位：弧度/秒（rad/s）
周期T：指正弦量循环一次所需要的时间。单位：秒
频率f：指正弦量单位时间内完成循环的次数。单位：赫兹  

  

周期、频率、角频率都可反映正弦量的变化快慢。
直流量可看成
的正弦量。
我国等多数国家采用50Hz（日、美等采用60Hz）为电力工业的标准频率，习惯上称工频。
（3）初相
：当线圈在磁场中作匀速旋转时，线圈切割磁感应线，产生感应电动势。若外电路闭合，则会在线圈和外电路组成的闭合回路中出现感应电流。
图12-3（a）中，
，解析式说明在
时发电机有效边处于中性面位置时。
图12-3（b）中，
，解析式说明在
时线圈所在平面与中性面之间有一夹角
。
（a）初相为零的感应电动势        （b）初相不为零的感应电动势一


（c）初相不为零的感应电动势二
图12-3 正弦量感应电动势

：反映正弦量变化进程的电角度。可根据其确定任一时刻正弦量的瞬时值，把这个电角度称为正弦量的相位或相位角。

：初相，指正弦量在计时起点
时的相位。
不超过
弧度。
相位和初相通常用弧度作单位，工程上可用度。
正弦量在任一瞬间的相位都与初相有关，显然，正弦量的初相与计时起点（即波形图上的坐标原点）的选择有关。
由于正弦量一个周期中瞬时值出现两次为零的情况，规定正弦波瞬时值由负变正时的过零点为正弦波的零值，则正弦量的初相便是由正弦量的零值到计时起点
之间的电角度。




（a）                   （b）                       （c）
图12-4 正弦量感应电动势
若正弦量以零值为计时起点，见图12-4（a），则初相
；若零值在左边原点的左侧，见图12-4（b），则初相
；若零值在左边原点的右侧，见图12-4（c），则初相
。
注：正弦量的初相与参考方向的选择有关：


取
还是
，由
的绝对值不超过
来决定。
2、相位差
在正弦电路中，电流和电压都是同频率的正弦量，虽然都随时间按正弦规律变化，但它们随时间变化的进程可能不同，为了描述同频率正弦量随时间变化进程的先后，引入了相位差。
含义：两个同频率的正弦量的相位之差，即初相位之差，是一个与时间无关的常数。规定相位差的绝对值
。
例如：正弦电压
，正弦电流
，电压与电流的相位差为：
。
可见，两个同频率正弦量的相位差等于两个正弦量的初相之差，是一个与时间无关的常数。




（a）                     （b）                       （c）

  

（e）                        （f）
图12-5 同频率正弦量的相位差
图12-5（a）中，
且
，电压u达到零值或最大值后，电流i经过一段时间才能达到零值或最大值。故称。电压u超前于电流i，或称电流i滞后于电压u。电压u超前于电流i的角度为
超前时间
。
图12-5（b）中，
且
，称：电压滞后于电流i，之后角度为
。滞后时间
。
图12-5（c）中，
且
，称：电压u与电流i同相，电压u与电流i同时达到零值或最大值。
图12-5（e）中，
，电压u与电流i正交。
图12-5（f）中，
，电压u与电流i反相。
3、正弦量的有效值
由于正弦量的瞬时值是随时间变化的额，测量和计算都不方便，也不能确切地反映在能量转换方面的世纪效果。而用正弦量的最大值，则夸大能量转换方面的效果。故工程实际中，常用有效值。
（1）交流电的有效值


同理交流电压的有效值      

（2）正弦量的有效值：    有效值=

可见，有效值可以替代振幅作为正弦量的一个要素。
通常所说的正弦交流电压、电流的大小都是指有效值。常用于测量交流电压和交流电流的各种仪表所指示的数值，交流电气设备铭牌上的额定值等都指的是有效值。
一般在分析电气设备的耐压能力时，用最大值。【知识点2】正弦量的相量表示及运算
本知识点对应大连理工大学版教材6.2节内容
1、复数及四则运算
（1）复数：
（a为实部，b为虚部）
虚数单位用j代替i，实轴和虚轴构成复坐标平面。






图12-6 复数的表示
（2）复数的四种表示形式
①代数形式：

②三角函数形式：

③指数形式：

④极坐标形式：

（3）复数的四则运算
设：
   

加减：



图12-7 同频率正弦量的相位差
乘法：

除法：

★ 加减运算采用代数式；乘除运算采用极坐标式。
任意一个复数乘以j，其模值不变，幅角增加90(，相当于在复平面上把复数矢量逆时针旋转90(，因此，j称为旋转90(的因子。        图12-8 复数A乘以j的几何意义                 图12-9 旋转因子
2、正弦量的相量表示法
（1）旋转因子
通常把模为1的复数
称为旋转因子。
取任意复数
，
则：

即任意复数乘以旋转因子，其模不变，幅角在原来的基础上增加了
，这就相当于把该复数矢量逆时针旋转了
角。
（2）正弦量的旋转矢量表示法


图12-10 正弦量的复数表示
    （3）正弦量的相量表示法


图12-11 正弦量的相量表示
相量法既可表示最大值，又可表示有效值。
（4）正弦量的相量图
相量只能表示正弦量三要素中的两个，角频率需另加说明。只有同频率的正弦量其相量才能画在同一复平面上。——相量图
画几个同频率正弦量的相量图时，可选择某一相量为参考相量先画出，再根据其他正弦量与参考正弦量的相位差画出其他相量。
参考相量的位置可根据需要任意选择。
3、用相量法求同频率正弦量之和
相量法：用相量表示正弦量进行交流电路运算的方法。只有同频率正弦量的相量才能运算。
例：两个同频率的正弦电压




用相量图分析：



    相量相加所得的模、幅角与解析式相加所
图12-12 举例相量图        得的有效值、初相相同。即：
若
，则：

同频率正弦量相加转化为对应相量相加的步骤：
①由相加的正弦量的解析式写出相应的相量，并表示成代数形式。
②按复数运算法则进行相量相加，求出和的相量。
③由和的相量的有效值和初值写出和的正弦量。还可以做相量图，按照矢量的运算法则求相量和。三、重要理论
1、正弦量分析（知识点1）

----正弦电流的瞬时值
正弦量的三要素：变化的振幅值（
）；随时间变化的快慢（
）；初始值（初相位
）
2、正弦量的有效值：有效值=
（知识点1）四、例题
例题12.1 在选定的参考方向下，已知两正弦量的解析式
，

，试求两个正弦量的三要素。
解：

电压的振幅值
，角频率
，初相



电流的振幅值
，角频率
，初相

例题12.2 已知复数
，
。求
，
和
。
解：





例题12.3 已知两个同频率的正弦电压：
和



，求它们的和
，并画出相量图。
解：
，


   
                 图12-13 例题12.3题图五、课后习题
习题12.1 简答题：电路正弦量的三要素是指什么？
答：正弦量的三要素：变化的振幅值（
）；随时间变化的快慢（
）；初始值（初相位
）
习题12.2 简答题：将下列复数化为代数形式。
（1）
；（2）

答：（1）

（2）
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