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吉大《高等数学(文专)》拓展资源(六)

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论坛元老

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发表于 2020-10-10 20:24:30 | 显示全部楼层 |阅读模式
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吉大《高等数学(文专)》拓展资源(六)
 例题1 设 为连续函数, ,求 .  
解析 是一个常数,记为 A ,于是 .
   将上式两边从 0 到 1 作定积分,有 ,
   即 。
   所以 ,即。
例题2 计算下列定积分:(1) ;  (2) 。
解析 (1)将被积函数作恒等变形: 
      因为 在区间 [1,2] 上连续,且 是的一个原函数,根据牛顿 - 莱布尼茨公式,有
     原式
       
       
   (2)函数 在区间 上连续,且 是 的一个原函数,根据牛顿 - 莱布尼茨公式,有
      原式 
例题3 计算下列定积分:
    (1) ;   (2) ;
    (3) ;   (4) 
解析 (1)用凑微分法,有
      原式 
         = .
   (2)被积函数较为复杂,可考虑用换元法,但要注意积分上、下限也要作相应的变换。
      令 ,则当 时, ;当时, 。于是有
      原式 
         
         
         
   (3)用第二换元法,令 ,则 当 时;
      当时,。于是有
      原式 
         
   (4)用三角换元,可令 ,则 当 时, ;
      当 时, 于是有
      原式 
         
         = 
         
例题4 , ,试比较 M , N , P 的大小。
解析 M 中的被积函数是个奇函数,积分区间为关于原点的对称区间,由奇函数的积分性质知, 。 而由对称性,有
   
   
   所以其大小关系为 。辅导资料www.openhelp100.com
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