吉大《高等数学（文专）》faq（五）

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吉大《高等数学（文专）》FAQ（五）
一、何谓原函数？何谓不定积分？
设
在区间
内有定义。如果在该区内存在函数
，使
，则称
为
的一个原函数。
　　如果
为
的原函数，那么
也是
的原函数， C 为任意常数。
　　
的任意两个原函数
与
只相差一个常数
，即
。
　　综上两点可知，如果
为
的一个原函数，那么，
的原函数的全体必定可以表示为
，其中 C 为任意常数。
　　
在区间
内的全体原函数，称为
的不定积分，记为
，其中 C 为任意常数。
二、使用第一换元积分法的关键是什么？
使用第一换元积分法的关键是正确引入变换
如果在运算中不写出
而是把
看作一个整体，将所求积分
表示成
进而化为
，从而转化为基本积分公式的形式或容易积分的形式。以此求积分的方法称之为凑微分法。因此，熟悉教材中所给出的凑微分公式是十分重要的。例如：
　　　

　　  

　　　

三、第二换元积分法主要用来解决哪些类型的不定积分？
第二换元积分法主要用来解决被积函数中含有根式的积分。如
，只需令
，则
。从而将被积函数中的根式去掉。这种代换常称之为根式置换。
　　如
的积分，只需分别引入变
其中
限定为锐角，以消除被积函数中的根式。由于变换都是三角函数形式，因此常称为三角置换。在变换后的积分运算中，其运算结果为
的　三角函数表达式。由于
为新变量，因此计算结果必须再换回原变量。为了计算方便，往往引入直角三角形，利用锐角三角函数定义来确定所需的三角函数值（这就是限定
为锐角的原因）。
四、使用分部积分法的要点是什么？
使用分部积分法的要点是：
　　（1）将被积表达式分成两个因式
与
之积；
　　（2）
这部分一定要含有
，并且能较容易地将
求出来；
　　（3）
要比原式
容易求，或能再次使用分部积分使
化为
形式，但两端系数不同，从而能求出
.
五、分部积分法主要用来解决哪些类型的不定积分？
分部积分法主要用于解决被积函数中含有乘积或含有对数函数或含有反三角函数型的积分。计算的关键是正确选取
和
（或
），一般可采取下列原则：
　　对于
（其中
为 x 的 n 次多项式），通常选取

　　对于
（其中
为 x 的 n 次多项式），通常选取
，而
分别取为
等等。
　　对于
的积分，可以将被积函数两因子中任意一个取为
，即可以选取
，也可以选取
。但是有必要指出，经过一次分部积分之后 ，并没有把积分难易程度转化，这时需再次施以分部积分，并注意两次选取
的类型必须一致！两次分部积分之后，移项整理可求出原积分，但必须注意将积分号从等式右端移至等式左端时，应在等式右端添加任意常数 C 。
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