保险公司不动产最优投资策略研究

奥鹏网院作业

保险公司不动产最优投资策略研究*
吕子苑 魏 丽
[提 要] 本文研究了保险公司投资不动产时的最优投资策略问题。本文假设保险公司的风险过程为经典Cramer-Lundeberg模型。保险公司可把资金投资于现金市场和两个风险市场，分别为债券、股票和不动产。在卖空、借贷限制下，基于均值—方差模型，应用辅助随机二次线性问题求解方法，得到最优投资策略和有效边界。研究结果显示，不动产最优投资量不仅与初始资本金存在非简单线性关系，还与不动产的市场溢价水平、未预期冲击存在一系列复杂关系。
[关键词] 均值—方差模型；不动产投资；跳跃—扩散过程；借贷—卖空限制
一、引言
自2009年修订的 《保险法》首次允许保险资金投资不动产以来，保险公司纷纷参与不动产投资业务，不动产投资总额逐年增加，其中以商业出租、养老地产方式最为典型。通过对各大保险公司现有年度报表不动产投资数据进行整理，结果表明:截至2018年6月底，已有中国人寿、泰康人寿、中国平安、中国太平等10余家保险公司参与不动产投资，投资总额已超千亿元，投资以商业出租和养老地产为主。总体来看，中国平安的房地产投资高达473.41亿元，与上年同期投资额度差距不大。相比之下，虽然中国人寿在房地产的投资额度较低，但增长迅速。根据中国人寿保险2018年半年报，上半年新增房地产投资25亿元，从2017年底的30.64亿元提升到2018年6月的55.14亿元。从养老地产投资状况来看，泰康人寿自2009年成立养老社区投资与运营机构，在9 年的时间内，斥资200多亿元在北京、上海、广州、成都等全国13个重要城市建立高端养老社区—— “泰康之家”，且预期投资金额将进一步扩大 (陈东升，2018)。另外，中国人寿的“国寿嘉园”养老社区、中国平安的“合悦”以及中国太平在上海的“梧桐之家”等养老地产项目也在建设、运营之中，其规模同样有日益扩大的趋势。
虽然不动产投资在一定程度上降低了资本市场波动对收益率的影响，有利于提高保险公司资产与负债的匹配度。但是，美国次贷危机的教训说明，不动产的投资不能在无限制、无策略的方式下进行，否则会产生灾难性的后果。目前，关于保险资金投资不动产的研究大多停留在定性论述的层面，相对缺乏量化研究的支撑。
本文基于卖空、借贷限制下的均值—方差模型展开研究。均值—方差模型是指在某一特定时间段内，通过调整各种投资资产的配置达到风险和预期收益权衡的一种模型。该模型最早由Markowitz在其获诺贝尔奖论文中提出 (Markowitz，1952)。在此单一时段模型中，投资组合的风险用收益的方差来衡量，而其预期收益由均值所衡量。模型把固定方差(或收益)水平作为限制条件，如果某一最优投资组合在这一组拥有同样方差(或收益)的资产组合中预期收益最大 (或方差最小)，则称这一组合是有效的。其中，所有有效投资组合组成的集合被称为有效边界。之后，均值方差模型成为重要的衡量金融风险的标准，相关文献如Li et al.(2002)等。经过十几年的发展，Merton (1973)构建了多时段的连续时间模型，首次将跳跃过程加入股票价格随机过程的衡量中，提出了跳—扩散的概念，用来描述资本市场上未预期到的冲击。2000年之前，大多数应用均值—方差模型的研究都停留在对离散时点进行分析，直到二次线性控制 (LQ)方法的出现。利用LQ 方法，一系列的文献，例如Zhou&Li(2000)和Lim &Zhou (2002)，全面探究了连续时间均值—方差模型在多种场景中的应用。
近些年，由于保险资金拥有更多可以投资于资本市场的机会，对于应用随机最优控制理论解决保险公司投资问题的方法越来越引起众多学者的关注。在前人的研究基础上，Browne (1995)提出了一个刻画保险公司初始盈余过程的经典随机控制模型。其中，累积赔付由一个带漂移项的布朗运动刻画，风险资产则由几何布朗运动刻画。之后，在刻画保险公司初始盈余过程时，经典Cramer-Lundberg模型成为最常用的模型。Hipp & Taskar(2000)运用复合泊松过程来描述保险公司的累积赔付，并考虑了使得最终破产概率最小化的随机最优问题。Hipp&Plum (2000)运用经典Cramer-Lumberg模型来描述保险公司的盈余过程，同时假设风险资产服从几何布朗运动。在Garier et al.(2003)的论文中，初始盈余过程的刻画也应用了经典Cramer-Lundberg 模型。目标函数被设定为最小化保险公司的破产概率。另外，对于风险资产投资过程的描述，跳—扩散模型的提出使得过程刻画更加贴近实际。Merton (1973)构建了一个经典跳—扩散模型来刻画股票价格过程。在跳—扩散模型中，股票价格可能出乎意料地“跳”到一个新的水平上，并进行一个新的几何布朗运动。张景肖(2013)认为跳—扩散模型更加精细地刻画了保险公司的盈余过程。Irgen& Paulsen (2004)和徐林(2008)利用两个相互独立的跳—扩散过程分别对初始盈余过程和风险资产的价格过程进行描述，得出了保险公司最优投资以及再保险策略。柏立华(2009)在其博士学位论文中详细阐述了在卖空和借贷限制下，如何应用均值—方差模型对经典Cramer-Lundberg模型求黏性解。值得注意的是，在求解此类问题时，经典的验证定理不再适用。因此，柏立华 (2009)给出了在非负限制下适用于HJB方程求解均值—方差问题的验证定理，为此类问题的求解奠定了理论基础。Lin & Yang(2001)假设盈余和风险资产的随机动态过程服从不同的跳—扩散风险过程，推导出了最优投资策略的表达式。毕军娜和郭军义 (2011)，Bi et al.(2011)，Bi& Guo (2012)，Bi et al. (2014)分别运用均值—方差模型在存在禁止卖空和破产限制的情况下对保险公司最优投资和再保险问题进行了研究推导，但前述研究均未考虑保险公司不动产投资问题。作为风险投资的一种，房地产价格形成过程也常常被认为符合带跳的几何布朗运动。Chen et al. (2010)利用带跳的布朗运动描述房地产价格，发现反常跳的大小值对抵押贷款保险的收益有十分巨大的影响。Pfnür& Armona (2013)利用跳—扩散模型刻画收到非预期变化影响的房地产价格过程，以期研究房地产投资现金流的问题。Sing(2001)研究了单位租金和单位建设成本的规模弹性对房地产项目的影响。其中，租金的价格过程由带漂移的布朗运动描述，并表现和房地产价格以及建设成本高度相关的关系。
在前人关于保险公司投资债券和股票市场的最优投资策略研究基础上，本文在卖空、借贷限制以及控制无风险投资和股票投资的情况下，差异研究了保险公司配置不动产投资的影响，以探求保险公司对不动产投资的随机最优投资策略，并基于研究结果对保险公司的不动产投资提出建议。
二、保险公司不动产投资模型的构建
(一)基本假设
假设保险公司可投资于债券、股票和不动产三种资产，且允许连续交易、没有税收和交易成本，所有的资产都是无限可分的，无套利机会，所有资产投资都是自筹资金的状态 (没有消耗和收入)，没有股息，不考虑破产限制。
设{Ω，F {F t，t≥0}，P}是一个完备的概率空间，其中F t 表示到时刻t 为止所获得的信息综合，时刻t 的决策基于信息流 {F t，t≥0}做出。债券、股票和不动产投资在一个有限时间区间[0，T]内进行交易。如无特别说明，后文提到的随机变量和随机过程都定义在该概率空间内。假设T∈R+是有限的正数。
为了使模型更加贴近实际，笔者设立卖空和借贷限制。
(二)模型构建
下面，笔者通过逐步构建保险公司的负债和资产模型，最终建立保险公司不动产投资模型。
1.负债端风险模型。
假设保险公司风险过程服从经典Cramber-Lundberg模型。该模型最早由Browne(1995)提出，之后，经常被用来描述保险公司的风险过程:

式中，R 0 为保险公司的初始财富；c 1＞0 是常数费率；{Y i}表示第i 次赔付的金额，{Y i，i=1，2，…}为独立同分布的非负随机变量，其共同的分布函数为F (y)，F(0)=0，密度函数为ƒ，存在有限均值μ1 和二阶矩μ2；{N 1(t)，t≥0}是一个强度为λ1＞0的泊松过程，表示到t 时刻的总赔付次数；{Y i，i=1，2，…}与{N 1(t)}相互独立；保险费率的计算遵循期望值准则，即c 1=(1+η)λ1μ1；η＞0为保险公司安全系数。
假设保险公司采用比例再保险策略，水平为1-q(t)。q(t)∈[0，1]，即保险公司借贷存在限制，再保险比例不得为负。保险公司在赔偿发生时，支付q(t)Y；再保险公司支付(1-q(t))Y。再保险公司费率的计算也遵循期望值准则，即:
c 1(1-q(t))=(1-q(t))(1+θ)λ1μ1
式中，θ＞0是再保险公司的安全系数。
从而考虑再保险之后的盈余过程为:

2.债券价格模型。
债券价格模型为:

式中，P b(t)代表债券在t时刻的价格；债券初始价格P b(0)为1；r(t)表示无风险资产的收益率。
3.股票价格模型。
假设股票收益过程服从跳—扩散模型。跳—扩散模型的优点在于，它考虑了未预期到的冲击对目标过程的影响，使得随机过程的刻画更接近于现实。该模型最早由Merton (1973)提出，则有:

式中，P s(t)为股票在时刻t 的价格；P s 0 为初始价格；r 1(t)表示股票收益的瞬时期望收益率；σ1(t)表示股票收益的波动率； {W 1t，t≥0}为标准维纳过程；{N 2(t)，t≥0}是一个强度为λ2＞0的泊松过程；跳的跨度 {Z j，j=1，2，…}为一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为G 1(z)，G 1(0)=0，密度函数为g 1，一阶矩和二阶矩分别为μ3 和μ4。
4.不动产收益模型。
目前，保险公司的不动产投资多为商业地产，故假设不动产投资的收益由不动产价格和租金的收益两部分构成。
Chen et al. (2010)利用带跳的布朗运动描述房地产价格，发现反常跳的跨度对抵押贷款的收益有着十分巨大的影响。因此，本文假设不动产价格过程也服从跳—扩散模型，表达式为:

式中，P m(t)为不动产在时刻t的市场价格；P m 0为初始价格；r 2(t)表示不动产价格的瞬时期望收益率；σ2(t)表示不动产价格的波动率；{W 2t，t≥0}为标准维纳过程； {N 3(t)，t≥0}是一个强度为λ3＞0的泊松过程，用来描述 [0，t]时间内发生的无法预期到的冲击，比如政府突然提高利率或实施限购措施；跳的跨度{U k，k=1，2，…}为独立同分布的非负随机变量，分布函数为G 2(u)，G 2(0)=0，密度函数为g 2，一阶矩和二阶矩分别为μ5 和μ6。
Sing(2001)利用扩散逼近模型刻画房租收益过程，研究了单位租金和单位建设成本的规模弹性对房地产项目的影响，说明了利用扩散逼近模型刻画房租收益过程的合理性。本文参照Sing (2001)的做法，假设房租收益过程服从如下的扩散逼近模型:

式中，M(t)为时刻t 的房租收益；M 0 为初始收益；{c 2(t)，t≥0}为租金房价比过程；σ3(t)表示房租收益的波动率； t≥0}为标准维纳过程。
从而，笔者可以得到不动产收益模型如式(7)所示:

5.保险公司配置不动产投资下的投资模型。
假设保险公司将其全部财富进行投资，其中，a 1(t)投资于股票资产，a 2(t)投资于不动产，剩余资金则投资于无风险资产。π(·)为保险公司再保险策略q(·)和投资策略a i(·)的集合，则保险公司的财富过程{Xπ(t)，t≥0}满足如下随机微分方程:

根据前文分析，即有:

式中，x 0 为初始资本；m 1(t)=(r 1(t)-r(t))∈Rm+，代表股票的风险溢价；m 2(t)=(r 2(t)-r(t))∈Rm+，代表不动产的风险溢价。按照“偿二代”的风险测算体系，权益类金融产品有比不动产更高的风险因子，根据金融理论，风险因子越高收益也应越高，因此，有r 1(t)＞r 2(t)＞r(t)，σ2(t)＜σ1(t)。不失一般性，假设{r(t)，r 1(t)，r 2(t)，σ1(t)，σ2(t)，σ3(t)}是波莱尔可测的，并定义在[0，T]区间内。保险的业务风险和投资风险假设为独立，不同金融资产的风险相互独立，而房地产价格过程和房租收益过程存在强相关关系。从而有，和相互独立，和相互独立， 和 存在强正相关关系。其相关系数设为ρ，ρ∈R+为常数为三个复合泊松过程，分别代表保险公司累计赔付额、股票收益过程以及不动产价格过程跳 (未预期冲击)，赔付额是非负随机变量，而未预期冲击的影响可正可负，因此，{Z j，j=1，2，…}和{U k，k=1，2，…}的变量取值可正可负。
假定{Y i，i=1，2，…}，{Z j，j=1，2，…}，{U k，k=1，2，…}，{N 1(t)，t≥0}，{N 2(t)，t≥0}，{N 3(t)，t≥0}都相互独立。如果策略π(t)=a(t)+q(t)关于t 是循序可测的，且对所有t≥0满足则称该策略是可允许策略，记可允许策略集为Π。
三、保险公司不动产投资最优策略问题及求解
设Xπ (T)为采用π(·)策略下的终端财富。均值—方差投资组合选择就是选择适当的策略π∈Π 使得Xπ(T)的数学期望 (代表收益)达到最大，同时，使得Xπ(T)的方差(代表风险)达到最小。如果E[Xπ (T)]≤E[Xπ* (T)]和Var[Xπ(T)]≥Var[Xπ* (T)]至少有一个不等式严格成立，则称投资策略π*∈Π 为均值—方差有效策略。此时，称E[Xπ* (T)]和Var[Xπ* (T)]∈R 2 为有效点，所有有效点组成的集合称为有效前沿。该方法用方差度量风险，在终端财富期望达到某一定值K 的情况下，选择最优的投资策略使终端财富的方差最小，即:

笔者设K ≥最优化问题式 (9)中的最优策略成为有效策略，对应于K 的Var[Xπ(T)]被称为有效点。在有效点集合中，所有参数K 大于d v 的点构成了有效边界。
因为式(9)是一个凹性最优化问题，可应用拉格朗日乘子法求解。设值函数为V (x 0)，引入拉格朗日乘子β∈R，则式(9)转化为:

其中，引入的系数2只是为了简便起见。根据拉格朗日对偶定理，式(9)等价于:

但是式 (9)和式 (10)并不相等，后续将给出求解过程。
式(9)是一个典型的辅助随机二次线性控制问题。首先，求一个辅助问题，考虑如下的控制线性随机微分方程:

对应于式(12)的HJB方程为:

如果值函数V 是二次连续可微的，则此HJB方程存在解析解。但是，大多数情况并不是这样，值函数是不平滑的，因此笔者尝试求其黏性解。本文假设HJB式(14)有黏性解V(t，x)，满足V x(t，x)＜0，V xx(t，x)＞0。
定理1 HJB方程(14)的黏性解为:

当x-g(t ≥0时，为(0，0，0)。① 具体证明过程可与笔者联系。
四、有效策略和有效前沿

有效前沿为:


很明显，如果A(s)的值增大会导致最优方差的减少， 这样一旦代表不动产贡献的方程恒为正，就意味着投资房地产会使得资金运用更加有效(同预期最终期望条件下方差更小)。这与不动产投资可增加保险资金收益率稳定性的客观事实相吻合。
五、数值模拟
下面，笔者通过对公式赋值的方法，画出有效前沿的图形，来更好地展示研究结论及其应用。
由于我国保险资金进行年度结算，因此取T=1。假设某保险公司的初始资本金为X 0=1亿元，保险公司安全系数为η=0.15，再保险公司安全系数为θ=0.2。今年的索赔服从λ1=100的复合泊松分布，个体索赔的均值为μ1=100万元，二阶矩为μ2=0.001 5。
假设保险公司利用所有的资金进行投资，市场上可选择的资产有三种:第一种为债券，无风险利率r(t)≡r=0.04；第二种为股票，市场溢价和波动率分别为m 1(t)≡m 1=0.2和σ1(t)≡σ1=0.3；第三种为不动产，不动产市场溢价和波动率分别为m 2(t)≡m 2=0.1和σ2(t)≡σ2=0.2；其中租金房价比 (一年的每平方米房租除以每平方米房价)C 2(t)≡C 2=0.015，租金波动率为σ3(t)≡σ3=0.15，房租和房价相关关系为ρ=0.9。影响股票价格的跳跃过程服从λ2=2，有限均值为μ3=0.2，二阶矩为μ4=0.04；影响不动产价格的跳跃过程服从λ3=1，有限均值μ5=0.3，二阶矩为μ6=0.09。一年后保险公司的期望财富E X T =K=1.14亿元。
(一)不动产最优投资模型的动态性质
由图1 的左图可知，初始资本金x 与投资在不动产的最优量a*2 (x)成反比例关系，即随着保险公司初始资本金的增大 (减少)，投资于不动产的最优量相应减少 (增大)。这符合我国保险公司普遍负债性的经营特点，严格控制风险，安全性大于盈利。
由于保险公司需要把大部分资金投入到无风险资产中以保证经营的安全性，因此本文设定不动产投资规模限制在(0，0.5x)的区间内，加上卖空限制我们得到图1右图的图形。根据图形，笔者得出以下结论:

图1 初始资本金x 对保险资金不动产最优投资策略a*2 的影响
(1)保险公司初始资本金小于7.96千万元以及大于11.89 千万元时，为不动产投资严格控制区。其经济含义为，由于较小规模的保险公司资金稀少，抗险能力差，应严格避免不动产投资带来的不可承担的后果。而过大规模的公司经营又趋于保守，重点注重于安全性而不是盈利。这也符合现今中国保险业的常态。
(2)保险公司初始资本金大于7.96千万元小于9.925千万元时，为不动产投资的上升区。此时初始资本金的增长伴随着不动产投资规模的相应减少。其经济含义为，具有一定规模以及抗风险能力的保险公司，应增加不动产的投资规模，确保其盈利性和业务规模扩大。
(3)保险公司初始资本金大于9.925千万元小于11.89千万元时，为不动产投资的下降区。此时初始资本金的增长伴随着不动产投资规模的相应减少。其经济含义为，保险公司发展到一定规模后，应减少不动产的投资规模，经营趋于保守。
(二)有效边界的动态性质
1.不动产市场溢价m 2 对有效边界的影响。
如图2可知，随着不动产市场溢价的降低，有效边界变得越 来越陡峭，即说明在同样的期望财富下，随着不动产市场溢价的减少，保险公司所承担的风险越大。

图2 不动产市场溢价m 2 对有效边界的影响
其经济含义是:作为衡量不动产收益最重要的指标，不动产的市场溢价水平在很大程度上影响着保险公司对不动产的投资水平策略。较高的风险溢价水平表明市场有着较为积极的预期。这种情况下提高不动产收入水平是提高整体投资收益的有效途径，反之亦然。但是，对于不动产的投资还需要警惕不动产市场中的 “羊群效应”。李梦玄和曹阳(2013)通过研究得出，羊群效应对房地产市场泡沫度有着良好的解释效力，因此本文考虑羊群效应对不动产投资的影响。在不动产市场中，无论开发商还是散户投资者，都会在很大程度上受到社会群体压力的影响。在一个可以接受的市场溢价水平范围内，投资者对市场预期较为理性，风险波动不大。但是一旦超过这个范围，整个投资群体都会一致表现出对市场的过分信心或者过分消极的非理性预期，此时羊群效应的影响就会过分展现出来，投资风险就会产生异常大的波动。作为以安全性为主的保险公司来说，投资不动产应避免这种羊群效应的影响。当不动产市场溢价超出理性范围后，应根据实际情况适当调整不动产的投入，降低风险暴露。
2.不动产价格跳跃强度λ3 对有效边界的影响。
由图3可知，随着不动产跳跃强度的增加，有效边界变得越来越陡峭，即说明在同样的期望财富下，随着不动产跳跃强度的增加，保险公司所承担的风险加大。

图3 不动产价格跳跃强度λ3 对有效边界的影响
其经济含义是:当不动产价格在一个周期内有多次未预期到的波动(如国家的限购政策)会破坏房地产价格的稳定性，从而产生更大波动的可能，使得风险增加。投资于不动产的保险公司应密切关注政府的政策发布。如果政府政策发布频率提高(无论对不动产市场有利还是有害的政策)，应适当减少不动产投资，降低风险暴露。
六、主要结论和政策含义
虽然不动产投资可以提高保险资金的收益率和稳定性，以及资产负债的匹配程度。但是，保险资金的特殊性决定了其投资的复杂程度较高，再加上不动产投资缺乏流动性，且风险较高，稍有不慎便会引起巨大的风险。本模型使得保险人可以根据对其自身规模、抗风险能力以及不动产行业动态决定是否进行不动产投资以及有效调整投资规模。
本文基于均值—方差模型，在卖空、借贷限制下，推导出了保险资金再保险、投资股票以及不动产的最优策略和有效边界的黏性解。本文对保险资金对不动产的最优策略以及有效边界进行了数值模拟。首先，本文根据保险公司初始规模大小把保险资金投资不动产分为三个阶段:严格控制区、上升区以及下降区。本文认为在上升区内，保险公司应提高不动产投资水平，并在下降区内减少不动产投资。过小规模以及过大规模都应该严格控制不动产投资，示为严格控制区。其次，本文对不动产市场溢价的模拟明显展现出不动产市场与资本市场同样存在的“羊群效应”，风险变化与市场溢价水平变化严重不成比例。再次，意料之外的冲击(如政策冲击)也会对不动产投资风险产生巨大影响，其表现为随着冲击次数增多导致风险的成比例增大。
基于上文的结果和分析，本文得出以下三点政策含义:
第一，保险公司对不动产的投资根据资金规模大小，其投资政策有所不同。对于规模较小的公司而言，不动产投资是一个禁区。由于其抗险能力低，投资经验不够丰富，投资不动产会增大其破产风险。而对于规模较大的公司而言，不动产投资显然成为其提高盈利和规模的有效渠道。但是，当公司规模扩大到一定程度之后，由于其经营状态的好坏会对整个金融系统产生巨大的影响，其投资业务应趋于保守，适当减少不动产投资。一方面可以帮助大型保险公司降低风险暴露，另一方面也可以避免大规模资金冲击房地产市场，引发市场动荡。
第二，虽然较高的市场溢价预期会大幅度提高收益并减少投资风险，但出于保证安全性的目的，保险公司的不动产投资必须建立在对市场信息全面分析和理性预期的基础上，避免“羊群效应”的影响，始终把不动产投资规模保持在可控范围之内。时刻把握不动产价格的波动，在其超出一定范围时进行必要的调整，以提前规避风险。另外，应建立完善的监测和预警机制，做好尽职调查，保持对“泡沫”的高度敏感，严格把控投资红线。值得注意的是，保险公司的不动产投资应立足长期，以安全稳定为主，避免盲目追逐市场火爆时的短期高收益，禁止短期投资行为，保证保险资金安全和市场稳定。
第三，在进行房地产投资时，保险公司应时刻关注相关政策的出台频率，根据频率的增减调整投资规模。当房地产调控政策频繁出台且市场没有对其产生合理的预期时，会造成市场一定程度的波动，此时“羊群效应”对市场的影响便会凸显，不理性预期的可能性将会增大。正因为 “羊群效应”的存在，频繁的利好政策将导致市场泡沫度的增加，而频繁的有害政策则会增加房地产 “踩踏事件”发生的可能性。秉承优先保证收益稳定性的原则，保险公司应适当减少对房地产的持有，无论调控政策对房地产市场来说是利好信息还是有害信息。
总而言之，保险公司对不动产的投资应采取慎重的态度，严格注重对不动产行业以及相关政策的监控，灵活运用压力测试、敏感性测试等工具，并基于自身发展情况制定相应的投资策略。
参考文献
毕俊娜、郭军义，2011：《均值—方差准则下的投资连结寿险合同对冲问题》，《数学物理学报》第5期。
柏立华，2009：《随机控制理论在金融和保险中的应用》，天津：南开大学博士论文。
李梦玄、曹阳，2013：《我国房地产市场泡沫的测度及成因分析——基于行为金融理论的视角》，《宏观经济研究》第9期。
陈东升，2018：《泰康因时而生，因市而兴，因势而变》，《保险研究》第2期。
徐林，2008：《具有随机投资收益的风险模型下若干破产问题的研究》，上海：华东师范大学。
张景肖，2013：《随机最优控制及其在保险中的应用》，北京：科学出版社。
Browne，S.，1995，“Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process：Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin”，Mathematics of Operations Research，20 (4)：937958.
Bi，J.，and J.Guo，2012，“Optimal Mean-variance Problem with Constrained Controls in a Jump-diffusion Financial Market for an Insurer”，Journal of Optimization Theory and Applications，157 (1)：252275.
Bi，J.，J.Guo，and L.Bai，2011，“Optimal Multi-asset Investment with No-shorting Constraint under Mean-variance Criterion for an Insurer”，Journal of Systems Science and Complexity，24 (2)：291.
Bi，J.，Q.Meng，and Y.Zhang，2014，“Dynamic Mean-variance and Optimal Reinsurance Problems under the No-bankruptcy Constraint for an Insurer”，Annals of Operations Research，212 (1)：4359.
Chen，M.C.，C.C.Chang，S.K.Lin，and S.D.Shyu，2010，“Estimation of Housing Price Jump Risks and Their Impact on the Valuation of Mortgage Insurance Contracts”，Journal of Risk and Insurance，77 (2)：399422.
Gaier，J.，P.Grandits，and W.Schachermayer，2003，“Asymptotic Ruin Probabilities and Optimal Investment”，Annals of Applied Probability，10541076.
Hipp，C.，and M.Plum，2000，“Optimal Investment for Insurers”，Insurance：Mathematics and Economics，27 (2)：215228.
Hipp，C.，and M.Taksar，2000，“Stochastic Control for Optimal New Business”，Insurance：Mathematics and Economics，26 (2)：185192.
Irgens，C.，and J.Paulsen，2004，“Optimal Control of Risk Exposure，Reinsurance and Investments for Insurance Portfolios”，Insurance：Mathematics and Economics，35 (1)：2151.
Li，X.，X.Y.Zhou，and A.E.B.Lim，2002，“Dynamic Mean-variance Portfolio Selection with No-shorting Constraints”，SIAM Journal on Control and Optimization，40 (5)：15401555.
Lim，A.E.B.，and X.Y.Zhou，2002，“Mean-variance Portfolio Selection with Random Parameters in a Complete Market”，Mathematics of Operations Research，27 (1)：101120.
Lin，X.，and P.Yang，2001，“Optimal Investment and Reinsurance in a Jump Diffusion Risk Model”，Anziam Journal，52 (3)：250262.
Markowitz，H.，1952，“Portfolio Selection”，Journal of Finance，7 (1)：7791.
Merton，R.C.，1973，“Theory of Rational Option Pricing”，Bell Journal of Economics and Management Science，141183.
Pfnür，A.，and S.Armonat，2013，“Modelling Uncertain Operational Cash Flows of Real Estate Investments Using Simulations of Stochastic Processes”，Journal of Property Investment&Finance，31 (5)：481501.
Sing，T.F.，2001，“Optimal Timing of a Real Estate Development under Uncertainty”，Journal of Property Investment&Finance，19 (1)：3552.
Zhou，X.Y.，and D.Li，2000，“Continuous-time Mean-variance Portfolio Selection：A Stochastic LQ Framework”，Applied Mathematics&Optimization，42 (1)：1933.
THE STUDY ON OPTIMAL INVESTMENT STRATEGY FOR REAL ESTATE INVESTMENT BY INSURANCE COMPANY
LYU Zi-yuan WEI Li
(Renmin University of China)
Abstract:This essay focuses on studying optimal investment policies of an insurer after adding the real estate investment factor.We assume the insurer's risk process follows the classic Cramer-Lundeberg model，and the insurer can invest their fund into cash market and two risk markets，which are bond，stock and real estate markets.Under the constraints of no short selling and no borrowing，based on the Mean-Variance model，this essay uses the stochastic linear-quadratic(LQ)control theory as calculation method to derive the optimal investment policies and efficient frontier.According to the results，the real estate optimal investment amount not only shows non-simple linear relationship with the company's initial capital，but it also shows a series of complex relationships with the market premium of real estate and with unpredicted shocks.
Key words:Mean-Variance model；real-estate investment；jump-diffusion process；borrowing and short-selling constraint；stochastic linear-quadratic(LQ)control theory
* 吕子苑，中国人民大学国际学院；魏丽 (通讯作者)，中国人民大学财政金融学院，邮政编码:100872，电子信箱:weil@ruc.edu.cn。感谢匿名评审人提出的修改建议，笔者已做相应修改。本文文责自负。
(责任编辑：刘舫舸)