兰大《高等数学1》在线考试考前辅导资料

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兰大《高等数学1》在线考试考前辅导资料
一、考试复习所用教材
《高等数学》(上册),同济大学应用数学系,高等教育出版社 .
二、考试题型介绍
1、单项选择题（每题4分，共10个小题，40分）
2、判断题题（每题2分，共10个小题，20分）
3、计算题（每题10分，共2个小题，20分）
4、综合题（每题20分，共1个小题，20分）
三、考试相关概念、知识点、复习题、例题归纳
第一章 函数与极限
1. 函数定义、函数相关性质
1.1函数的定义：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数。
注意：求函数定义域、值域、两函数是否为同一函数要求会。
1.2函数的性质：需要掌握函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、函数连续性、复合函数的定义和判断、有界性及其判定方法等。
1.3反函数的求法。
1.4例题
例1.h(x)是奇函数, s(x)是偶函数判断下列函数的奇偶性：h[h(x)]; s[s(x)]; h[s(x)]; h(x)+s(x)
解：h[h(-x)]=h[-h(x)]=-h[h(x)],所以h[h(x)]是奇函数；
s[s(-x)]=s[s(x)],所以s[s(x)]是偶函数；
h[s(-x)]=h[s(x)], 所以h[s(x)]是偶函数；
h[x]+s[x]是非奇非偶函数；
例２．判断函数  的奇偶性．答案：奇函数
解： ，所以是奇函数。
例３．判断函数 的奇偶性．答案：偶函数
解：因为  ，所以是偶函数。
例４．判断函数ln(√(x^2+1)+x)的奇偶性．
解：ln(√((-x)^2+1)+(-x))=-ln(1/(√(x^2+1)-x))=-ln(1/(√(x^2+1)-x))=-ln(√(x^2+1)+x)
所以是奇函数。
例５．已知f(x)=x^3-2,h(x)=3/x,那么h(f(x))=________．
解：h(f(x))=h(x^3-2)=3/(x^3-2)(复合函数知识点)
例6.下面关于连续函数说法错误的是（　Ａ　　）　　
Ａ.连续函数可能有原函数
Ｂ.初等函数在其定义域必连续区间内必连续
C.若函数f(x)在x_0处可导，则函数f(x)在x_0处连续
解：连续函数一定有原函数；
例７.（函数定义域）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_________．
解： ，那么 ，所以定义域为
例８．（反函数求法）求 的反函数是_________．
解：移项有 ，也就是 ，所以反函数是
例９.（反函数求法） 的反函数是_________．
解： ，则
2.极限
2.1函数和数列极限的概念（数列收敛的相关性质）。
2.2极限性质：有界性，保号性等。
2.3洛必达法则，两个重要极限（ ,求极限时学会变换成两个重要极限的形式来求极限），极限的求法（ 型， ， 型等极限求法），无穷大（小）概念和应用。
等价无穷小：如果 就说 和 是等价无穷小；
同阶无穷小：如果 就说 和 是同阶无穷小；
低阶无穷小：如果 就说 是比 低阶的无穷小；
高阶无穷小：如果 就说 是比 高阶的无穷小。
（注意： 和 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 ）
2.4例题
例１.求下列函数的极限：
lim┬(x→2)⁡〖sin 1/(x-2)〗;
lim┬(x→∞)⁡〖4^x 〗;
lim┬(x→∞)⁡〖(x^5+1)/(4x^5-1)〗;
解：
lim┬(x→2)⁡〖sin 1/(x-2)〗，lim┬(x→∞)⁡〖4^x 〗 极限不存在;
lim┬(x→∞)⁡〖(x^5+1)/(4x^5-1)〗=lim┬(x→∞)⁡〖(1+1/x^5 )/(4-1/x^5 )〗==1/4
例2.当 时，变量 是（   D  ）.
无穷小
无穷大
有界的，但不是无穷小
无界的，但不是无穷大
解：当 时， 是无穷大，但是 只是有界函数，且没有极限。所以 不能简单判定是无穷大还是无穷小，有界还是无界。所以我们取特殊数列 ，让这个数列的极限为0，而 的值容易算出来，由此来判断有界还是无界，无穷小还是无穷大。
取 ，则 且
此时： 是无界的
再取 ，则 且 ，因此不符合无穷大的定义
所以 是无界的，但不是无穷大
例３．下列说法正确的是（　　Ａ　）
Ａ．数列  收敛于ａ的充分必要条件是它的任一子数列都收敛于ａ
Ｂ．数列  收敛的充分必要条件是数列 收敛
解：首先，若数列  收敛于ａ，那么很容易得到其任一子数列收敛于ａ；
其次若任一子数列收敛于ａ，那么 本身也是其一个子数列，那么数列  收敛于ａ。
例４.求极限
解：

　例５．求极限
   
解：

例３．求 ．
解：
函数的连续性，极限
3.1函数的连续性的定义:f(x)在x=0处连续，必须有：
3.2例题
例１．已知  的导数在  处连续，若 ，则（　Ｂ　）．
Ａ． 是极小值点
Ｂ． 是极大值点
解：由于 ，当  时， ，
因此：当  时， ，
，假设 （ｃ为常数，但ｃ不等于０，且ｃ可以为无穷大）
则有： ，
因此，只有当 ，才有可能是 ；
且  的导数在  处连续，所以 ；
由导数定义有： ，所以函数是凸函数，所以函数在ｘ＝ａ处取极大值
例２.（函数连续性）求函数 的连续性.
解：已知多项式函数是连续函数，所以 在 连续，在x=1处， .
.
所以 ，从而函数 在x=1处是连续的.
综上函数 在 上是连续函数.
例３．设 问b为何值时 存在，并求此极限值．
解：对于分段函数分段点处的极限，由于解析式不同，一般先求左极限和右极限．
   
   
   为了使 存在，必须使 ，所以ｂ=0,
   因此，ｂ=0时 存在，且
第二章 导数和微分
导数的定义，几何意义及导数应用和求解（切线就是求导数），隐函数求导，n阶导数等,复合函数求导数。
f(x)在 处可导的充分必要条件是：左导数和右导数存在且相等。
例题
已知y=√(2-x^3 ),求ｆ^， (1)=_________．
解：（复合函数求导）ｙ^，＝〖(〖(2-x^3)〗^(1/2))〗^，=1/2∙1/√(2-x^3 )∙(-3x^2)=-3/2
例２．已知f(x)=x^2 sinx,求f^,(π/2)=_________．
解：（复合函数求导）f^,(x)=2xsinx+x^2 cosx;所以f^,(π/2)=2∙π/2∙sin π/2+〖π/2〗^2 cos π/2=π+0=π
例３．曲线 上点（１,１）处的切线方程为_________．
解：曲线在(１,１)点处的斜率是２．
所以切线方程：
例4.下列说法错误的是（  A B C ）. （多选题）
如果 ，则
如果 ，则
.如果 ，则
解：例  ，则 ，但是 ，所以A错
  例  ， ，所以C错
例5.设函数  在  处的导数不存在，则曲线  （　　Ｂ　　）．
Ａ．在点  处的切线不存在
Ｂ．在点  处的切线可能存在
Ｃ．在点  处不连续
解：导数相当于就是切线的斜率，导数不存在，切线的斜率不存在，但是不表示切线不存在，有可能切线是竖直线。比如 ，  不存在，但是 在  处有切线ｙ轴；
对于Ｃ选项：例如  ，在 处是连续的，但是在０处左极限和右极限不相等，所以不可导。
例６．求方程 所确定的隐函数y的二阶导数
解：方程两边求导数得

第三章  微分中值定理与导数的应用
1.掌握洛必达法则。
2.曲率的计算。
3.微分中值定理（罗尔定理，柯西定理，拉格朗日定理）
罗尔中值定理，描述如下：
如果函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在(a,b)内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
拉格朗日中值定理，描述如下：拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形；
如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
(零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。)
4.例题
例１．求抛物线  在其顶点处的曲率及曲率半径.
解：
  
令  ，得顶点的横坐标为x=3，
  
所求曲率为
  .曲率半径为:      
例２．设 ，证明： .（拉格朗日中值定理）
证明：设f(x)=lnx,则f(x)在区间[b,a]上连续，在区间（b,a）内可导，由拉格朗日中值定理，存在 ，使： 即
因为 所以
即

第四章 不定积分
1.理解不定积分的概念，原函数和不定积分的关系，会计算不定积分（注意：需要记住且熟练应用课本中的基本积分公式）。
2.掌握分部积分法与换元积分法，有理函数的不定积分求法等。
分部积分：

3.例题
例1.（不定积分）求不定积分　
解：
　　　　　　　  
例２.（分部积分）

例３．求不定积分
　　　　　
解：
　

定积分及其应用
掌握定积分的概念和性质，不定积分与定积分的联系，会计算定积分（换元积分法、分部积分法、牛顿莱布尼兹公式）。
例题
例１．已知函数 在 上连续，同时 ，则在 上当 时，以下哪个一定成立？A
A.
B.
C.
D.不确定
例2.计算∫_(-1/2)^(1/2)▒〖dx/√(1-x^2 )=〗_________．
解：∫_(-1/2)^(1/2)▒〖dx/√(1-x^2 )=〗 〖arcsinx|〗_(-1/2)^(1/2)=π/6-(-π/6)=π/3
例3.（定积分） _________．
解：
例４．  
解：
微分方程
掌握微分方程的定义，了解常系数线性微分方程的特征方程的概念并会解，会求常系数线性齐次微分方程通解和特解。
例题
例1.求微分方程 满足初始条件 的特解。
解：特征方程 的跟为 ，所以对应的齐次方程的通解为 ；
由于0是特征方程的单根，所以可以设特解 ,由于 ， ；代入原方程 可得 ;
所以原方程的通解为：
代入初始条件可得： ，所以 ，
所以原方程满足初始条件的特解为
例2.（特征方程） 的特征方程是：
例3．求微分方程：
满足初始条件 的特解。
解：该题属于 类型，令
属于缺x的类型 ，令 ，
所以原方程化为 得 ，p=0不满足初始条件 ，所以舍弃。
由 ，按分离变量法得： ，由初始条件求： ，
于是得： 解之得： 将 代入，得 ，所以应取+号，且
即
注：可分离变量的微分方程要熟练掌握；比如原方程为 ，分离变量得：
，两端积分得： 即为原方程通解。
例4．假设  是微分方程  的一个解，求此微分方程满足
  的特解。
解：将 代入原方程：

将ｐ（ｘ）代入微分方程，可得  化为标准形式：

因为一阶微分方程  的通解通解公式为：
  
所以原方程通解为：

由 ，得：  
所以所求特解为：  
　　　　　　　　第十二章　无穷级数
1.会求幂级数的收敛区间。
例１．求幂级数  的收敛区间。
解：  ，故收敛半径是３，收敛区间是  
二次曲面的方程和性质要掌握
椭球面，双曲面，抛物面，椭圆锥面的标准方程形式和性质。
例如：  （其中ｐ，ｑ同号）是椭圆抛物面；  是二次锥面等。
总结：
以上知识点和相关例题需要熟练掌握并学会举一反三，其中微分方程经常在计算题和综合题中出现，应该熟练掌握。