不同生育率情形下养老保险筹资模式比较研究

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不同生育率情形下养老保险筹资模式比较研究
万春林 邓 翔 路 征

[提 要] 理论研究普遍认为，基金制养老保险筹资模式优于现收现付制，但这几乎都是基于人均资本视角的判断。本文在外生和内生生育率两种情形下，从福利经济学视角分析基金制是否完全优于现收现付制。理论模型表明，在一定参数组合下，无论外生生育率还是内生生育率，都存在使现收现付制下社会福利高于基金制下社会福利的养老保险缴费率。模型的数值模拟显示，存在使现收现付制下社会福利更高的养老保险缴费率，且在外生生育率下(符合我国生育政策)现收现付制缴费率在12%左右社会福利最高，内生生育率下(符合发达国家生育政策)现收现付制缴费率在6%左右社会福利最高。前一数值与已有研究成果观点相近(我国社会统筹部分缴费率应下降到15%左右)，后一数值与美国(6.2%)、日本(7.7%)等发达国家现收现付制养老保险缴费率相近。稳健性检验显示，只要参数赋值在合理范围内，数值模拟主要结论不变。本文为降低现行我国社会统筹部分养老保险缴费率提供了理论借鉴。

[关键词] 现收现付制；基金制；养老金缴费率；社会福利；OLG模型

一、引言
养老保险筹资模式分为现收现付制(pay-as-you-go)和完全基金制(full funded)两种。在现收现付制下，政府从当前工作人员(成年人)中征收一部分税款，将这部分税款分配到当前退休人员(老年人)作为其养老金。现收现付制是一种代际再分配机制，该制度中的养老金额完全取决于成年人的工资水平及成年人与老年人的比例，而成年人所支付的税额对自己退休时所得的养老金并没有直接影响，因而可能会产生避免纳税的动机(Barseghyan，2015)。在完全基金制下，政府从成年人中征收一部分税款，将这部分税款作为养老基金交给专业机构管理资产并赚取利息，等他们退休后再将这部分基金(包括税款和所得利息)作为养老金发放给他们。这种固定缴费的养老金制度会受到不同风险(利率风险、长寿风险等)的影响，但个人缴费和个人所得养老金之间存在明确的联系(Blake，2008)。

这两种筹资模式的优劣之分尚无完全定论，大多数研究认为，理论上基金制优于现收现付制。Weil(2008)在纪念“世代交替模型”(OLG模型)提出50周年的文章中，认为在不考虑道德风险和内生劳动供给的情形下，现收现付制会导致私人投资挤出效应，从而降低劳动生产率和产出，存在帕累托改进空间；而基金制则消除了这种挤出效应，其劳动生产率和产出可达到完全竞争市场上的最高效率。此观点在后续的相关研究中也得到了继承和发展，如Kaganovich & Meier(2012)和Barseghyan(2015)以及Li & Lin(2016)等都认为基金制要优于现收现付制。

但也有部分研究认为基金制并非完全优于现收现付制。如Yoon & Talmain(2000)基于生育率内生化的OLG模型，认为现收现付制下的生育率低于基金制下的生育率，低生育率会导致较高的人均产出增长率，因而现收现付制对于发展中国家来说可能更合适。Blake(2008)认为，当考虑金融、政治等风险后，现收现付制可能会优于基金制。Kaganovich & Zilcha(2012)在外生生育率的OLG模型中加入了内生人力资本，研究发现，在一个小型开放经济体中，现收现付制的教育支出会高于基金制，从而导致高人力和物质资本积累以及高经济增长率。上述文献在理论上可归纳为，现收现付制有利于防范风险，基金制则独立于人口规模变化因素且有利于提高人均资本积累从而导致高经济增长率。

当然，完全现收现付制或完全基金制在如今已非常少见，更多是这两种筹资模式的结合(即混合制)，只是不同国家在两种筹资模式上的比例有所差别。实际上，在经典的养老保险分析框架OLG模型中，基金制对经济变量很少有影响，所以混合制对经济变量的影响其实就来自于现收现付制部分。表1报告了部分国家尤其是发达国家的养老保险缴费率，雇主缴费为现收现付制部分，雇员缴费为基金制部分。从中可知，这些国家都采用混合制养老保险筹资模式。与这些国家一样，我国现行的企业职工基本养老保险制度也是混合制，由社会统筹(现收现付制)和个人账户(基金制)两部分构成，社会统筹部分由雇主缴纳，缴费率为工资的16%(2019年5月之前为20%)，个人账户由个人缴纳，缴费率为工资的8%。可以看出，雇主缴费率高于中国的国家有捷克、芬兰、意大利、西班牙和巴西，而主要发达国家如美国、日本、德国和法国的雇主缴费率分别只有6.2%，7.7%，10%和9.9%。

表1 2014年部分国家养老保险缴费率(%)

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资料来源：世界银行(http://www.worldbank.org/en/topi ... brief/pensions-data)。

现阶段对我国养老保险筹资模式研究，主要是从这两种筹资模式缴费率或缴费比例上进行分析，这其实也是对现收现付制和基金制的比较。针对我国现行社会统筹部分养老保险缴费率是否偏高这一问题(现有文献都是针对20%的缴费率)，虽然有学者认为我国养老保险缴费率在现阶段是合理的(孙雅娜和安曼，2010)，但大多数学者认为我国养老保险缴费率偏高。如杨燕绥等(2015)统计了34个OECD国家的养老保险缴费率，其平均缴费率为20%，其中，只有西班牙和意大利缴费率高于我国。苏中兴(2016)通过分析39个国家的养老保险缴费率，认为我国社会统筹部分缴费率偏高。郑秉文(2016)基于拉弗曲线分析框架研究认为我国社会保险费率确实需要下调。柳清瑞等(2013)引入两期OLG模型，结合6种情景模拟，研究认为最优企业养老保险缴费率为15%。康传坤和楚天舒(2014)利用一个外生生育率的OLG模型，测算出最优统筹缴费率变动区间为10.22%～19.04%。路锦非(2016)通过构建基本养老保险基金收支平衡理论模型和长期人口动态精算模型，提出基本养老保险缴费率可以降到企业15%、个人5%。不难看出，社会统筹部分缴费率20%过高的观点已是共识，但并没有文献认为社会统筹部分缴费率应该取消。其他主要国家也都存在现收现付制，因此，有必要从新的理论视角探讨是否存在现收现付制优于基金制的情况。

本文的主要边际贡献是根据福利经济学视角，从外生和内生生育率两种情形对现收现付制和基金制进行比较，得出了现收现付制可以优于基金制以及应降低现行我国社会统筹部分养老保险缴费率的结论。与现有文献只考虑基金制下的高人均资本导致高人均产出，进而导致高消费不同，本文还考虑了高人均资本会导致下一期资本收益率降低进而影响到下一期收入，从而研究高人均资本的两种相反效应共同对社会总福利的影响，寻找是否存在满足一定条件的养老保险缴费率会使现收现付制下的社会福利高于基金制下的社会福利。

本文余下结构安排如下：第二部分构建一个外生生育率情形下的OLG模型，从理论上分析两种养老保险筹资模式的福利情况；第三部分则在内生生育率情形下分析两种养老保险筹资模式的福利情况；第四部分对理论模型进行数值模拟及稳健性检验；最后为结论与启示。

二、外生生育率情形下的养老保险筹资模式比较
(一)基本模型设定
1.家庭部门。考虑个人可以生存三个时期的OLG封闭经济体模型：儿童、成年和老年。时期是从零到无穷的离散数列。家庭人口组成单位化为1个人。每个时期所有人都是同质的且生存时间单位都化为1。儿童时期和成年时期都确定存活，老年时期则面临一个存活的概率。儿童的决策由其父母决定，因而消费包含在父母消费中。个人效用只来自消费(在外生生育率情形下，如果个人效用包含子女数，其影响也仅仅是个人总效用数值的整体偏移，不对其他变量产生影响)，即成年时期消费ct和老年时期消费ct+1，个人效用函数设为如下对数形式：

lnct+βπlnct+1

(1)

式中，参数β是时期贴现因子；π是老年时期平均存活率，π越大则老年存活率越高，相当于社会平均个人寿命更长。这样，人们在成年时期做出家庭行为决策，其预算约束为：

ct+st=wt(1-τ)-nφwt

(2)

式中，wt表示家庭劳动投入标准化为1时的劳动收入；τ为养老保险缴费率；n为家庭养育子女个数，由于家庭人口单位化为1，n即为家庭人口增长率，在同质家庭假设下，家庭人口增长率等于总劳动人口增长率；φ是养育子女的单位成本，假定与成年人的收入呈固定比例，即不同收入家庭抚养子女的固定成本不同，而时间成本相同，这容易从机会成本角度给予解释。

当金融市场中介向个人筹资或贷款时，其利率必须包含个人寿命不确定性的风险。假设完全竞争市场且无交易成本，则收益率等于Rt+1/π，其中Rt+1是资产从第t代到第t+1代的无风险总利率(Cipriani，2014)。因此，存活的老年时期预算约束为：

width=129,height=32,dpi=110
(3)

式中，It+1表示政府发放给老年人的养老金，如果是现收现付制，则设定为It+1=Pt+1；如果是基金制，则设定为It+1=Gt+1。储蓄st可正可负，如果成年时期预测自己老年时期的收入较高(老年时期收入分别来自成年时期的储蓄和政府的养老金)，即政府的养老金非常高时，则他在成年时期甚至可以将储蓄变为负。

在受式(2)和式(3)的预算约束下，家庭根据效用最大化原则来决定变量ct，ct+1和st。解得：

width=184,height=56,dpi=110
(4)

width=199,height=56,dpi=110
(5)

2.生产部门。假定企业处于只生产单一同质产品的完全竞争市场，这个单一同质产品既可以用作资本品，也可以用作消费品。假定企业数量为1，总生产函数在规模报酬不变的情况下表示为：

width=195,height=15,dpi=110
(6)

式中，Yt是总产出；Kt是总资本存量；Lt是总劳动人口；A是技术参数，表示劳动生产率；0<α<1是资本产出弹性。令kt=Kt/Lt和yt=Yt/Lt分别表示人均资本和人均产出，则人均生产函数为：width=65,height=13,dpi=110企业追求利润最大化表明所有要素投入支付的价格等于其边际产品，即：

width=80,height=15,dpi=110
(7)

width=108,height=13,dpi=110
(8)

3.政府部门。假定政府实行现收现付制养老保险筹资模式，政府在每个时期保持平衡预算。这样，政府预算约束为：τwt+1Lt+1=Pt+1πLt(Cipriani，2014)。假定总劳动人口等于成年时期总人口，总劳动人口增长率为n(严格讲，人口增长率是n-1，但这对后续分析没有任何影响)，因此，Lt+1=nLt。这样，政府预算约束为：

width=141,height=27,dpi=110
(9)

假设政府一直实行公开的现收现付制政策，家庭能够准确预测自己老年时期从政府得到的养老金Pt+1。因此，将式(9)代入式(4)和式(5)，得到现收现付制下消费width=12,height=13,dpi=110和储蓄width=12,height=13,dpi=110分别为：

width=199,height=52,dpi=110
(10)

width=214,height=52,dpi=110
(11)

接下来假定政府实行基金制养老保险筹资模式，则政府将当期成年人的一部分收入通过养老保险方式收集起来，等他们到下一时期变成老年人后，政府再以养老金方式返还给他们。政府收集的这部分收入(可看作政府储蓄)与私人储蓄以相同方式流入到金融市场，故政府储蓄收益率也等于Rt+1/π。这样，政府预算约束为：

width=148,height=32,dpi=110
(12)

在现收现付制下，t时期老年人的养老金是与t+1时期的工资以及外生人口出生率呈正比，而在基金制下，t时期老年人的养老金是自己在成年时期交给政府的收入乘以无风险利率。如果两种模式的缴费率相同，则下一期工资收入越高、人口增长率越高，现收现付制下老年人的养老金会更多；而资本收益率越高，基金制下养老金会更多。

依然假设政府一直实行公开的基金制政策，家庭能够准确预测自己老年时期从政府那里得到的养老金Gt+1。因此，将式(12)代入式(4)和式(5)，得到基金制下消费width=13,height=15,dpi=110和储蓄width=13,height=15,dpi=110分别为：

width=109,height=35,dpi=110
(13)

width=222,height=36,dpi=110
(14)

由此可知，若家庭对基金制下的养老金具有完全预见性，则养老金对其行为决策的影响仅仅是私人储蓄数量变化，政府收集多少当期收入作为养老金，家庭就会相应等额减少私人储蓄。政府的作用仅仅是政府储蓄代替部分私人储蓄，政府储蓄对私人储蓄产生完全挤出效应。因此，除私人储蓄发生变化外，成年时期消费和老年时期消费都不受基金制养老保险缴费率的影响。极端地说，在没有借贷约束下，即使缴费率达到50%以上，依然不会对成年时期消费和老年时期消费产生影响，只是这种情况下成年时期的储蓄变为负而已。

(二)两种养老保险筹资模式比较
1.一般均衡条件下的比较。假定资本完全折旧和资本市场出清，表明第t+1期经济体的总资本存量等于总储蓄(私人储蓄加政府储蓄)。商品市场出清确保总消费加上总储蓄等于总产出。在现收现付制下，政府没有储蓄，因此：

width=115,height=15,dpi=110
(15)

将式(7)、式(8)和式(11)代入式(15)，可得人均资本动态方程：

width=252,height=34,dpi=110
(16)

在稳态情形下，width=138,height=15,dpi=110则由式(16)得：

width=281,height=35,dpi=110
(17)

而在基金制下，总储蓄等于私人储蓄与政府储蓄之和。因此，其一般均衡条件为：width=146,height=15,dpi=110同理，可得在基金制下的人均资本动态方程及其稳态值：

width=220,height=34,dpi=110
(18)

width=249,height=35,dpi=110
(19)

命题1 在现收现付制下，养老保险缴费率对人均资本(产出)具有负向影响；而在基金制下，养老保险缴费率对人均资本(产出)没有影响。即∂(kP)*/∂τ<0，∂(kF)*/∂τ=0。

从式(16)～式(19)可知，在现收现付制下，当期消费和储蓄不但受制于当期参数，还受到下一期工资收入(wt+1)影响；而在基金制下，个人决策不受下一期工资收入影响，消费和储蓄的决定因素只受制于当期参数，不存在工资收入之间的代际转移。

在现收现付制下，私人储蓄等于社会总储蓄。一方面，成年时期收入中有一部分被政府作为养老金发放给当期的老年人，这导致成年时期收入降低，从而使得用于下一时期消费的当期储蓄降低；另一方面，成年人预期自己年老时将得到一笔养老金，这样自己就可以相应减少一部分用于年老时消费的储蓄。这两方面同时导致成年时期储蓄会随养老金缴费率增加而降低。这样，现收现付制下的养老保险缴费率对社会总储蓄产生了负向影响，养老保险缴费率越高对社会总储蓄的挤出就越大，对人均产出的负向影响也越大。

在基金制下，社会总储蓄由私人储蓄和政府储蓄共同构成。与现收现付制一样，私人储蓄受到两方面影响使私人储蓄随养老保险缴费率增加而降低。但与现收现付制不同，政府收集的养老金并没有发放给当期的老年人，而是作为储蓄留存到下一期，发放给下一期老年人。因此，这部分养老金在当期就成为政府储蓄，政府储蓄在数量上完全等于由养老保险缴费率因素而下降的那部分私人储蓄，所以社会总储蓄并未受到养老保险缴费率的影响，从而不会对人均资本和人均产出产生影响。

值得一提的是，在理论上，实行基金制养老保险筹资模式与没有养老保险制度相比，改变的仅仅是私人储蓄与政府储蓄之间相对值大小，对其他变量不产生任何影响。基金制下养老保险缴费率多少并不重要，基金制就相当于现收现付制养老保险缴费率为0的情况。这也可以看出，理论上混合制养老保险筹资模式对经济变量的影响是体现在现收现付制部分，因此，分析混合制等同于分析现收现付制，故在理论分析中不对混合制作单独分析。

命题2 基金制下的稳态人均资本高于现收现付制下的稳态人均资本，即(kF)*>(kP)*。

比较式(17)与式(19)容易看出，当缴费率τ大于0，现收现付制下的稳态人均资本就会随缴费率增加而降低，即养老金缴费率越低，稳态人均资本越高。而在基金制下，缴费率对稳态人均资本没有影响，其稳态值相当于现收现付制下养老保险缴费率为0，即无养老保险制度的情况。因此，经济体在稳态状态下，基金制或没有养老保险制度下的人均资本比现收现付制高。

尽管基金制会使人均资本更高，但高人均资本会导致两种完全相反的效应：一方面会导致高人均产出；另一方面会导致低资本收益率。从福利角度而言，并不能说高人均资本就一定好。那么，现收现付制是否有其合理性？接下来从福利经济学视角再对两种养老保险筹资模式进行比较分析。

2.福利经济学视角的比较。由上述分析可知，基金制下的人均资本比现收现付制下的人均资本更高，高人均资本会提高人们的工资收入，但却对资本收益率有负向影响。这两种完全相反的效应共同影响个人消费选择，从而影响个人总效用。对于OLG模型中的社会总福利研究一直以来争论较大，其原因在于，OLG模型是一个无限迭代的世代交替模型，每个时期至少包括两种人群(成年人和老年人)，每个人一生至少包含两个时期(成年时期和老年时期)，使社会总福利的衡量变得复杂(Balasko & Shell，1980；Bental，1989；Conde-Ruiz et al.，2010；Schoonbroodt & Tertilt，2014；Hashimoto & Tabata，2016；Buyse et al.，2017)。为了计算方便和结果的可比性，本文采用Bental(1989)和Hashimoto & Tabata(2016)的方法，用代表性家庭一生的总效用作为社会总福利。如此处理有其合理性：一是本文模型假定每个人都是同质且成年时期做出所有决策，这样，就人一生而言，成年时期决策已经决定了一生的行为选择即一生总效用。二是就同一个时期而言，尽管一个时期包含成年人和老年人，但老年人的行为是由上个时期决定的，所以在任何一个时期只有一种人群即成年人做出决策。下面以此分析不同养老保险筹资模式下的社会总福利。

考虑在t时期的一个经济体对t+1时期的养老保险筹资模式进行选择。给定t时期的经济变量，不论t+1时期选择何种模式，t时期的经济变量(如kt，wt)不变。如果经济体选择下一期为现收现付制，根据式(10)、式(11)和式(1)，则个人一生总效用为：

width=221,height=16,dpi=110
(20)

如果经济体选择下一期为基金制，根据式(13)、式(14)和式(1)，则个人一生总效用为：

width=221,height=16,dpi=110
(21)

由于采用Bental(1989)的处理方法，个人总效用看作是社会总福利，这就忽略了成年时期的那部分老年人和老年时期的那部分成年人的效用，从而也就并不在意现收现付制下代际分配对不同人群的影响。因此，判断width=18,height=15,dpi=110和width=18,height=15,dpi=110的大小进而比较两种养老保险筹资模式是可行的。如果width=63,height=15,dpi=110则对于t时期而言，t+1时期选择现收现付制更优；反之，则选择基金制。从式(21)可知，width=18,height=15,dpi=110不受养老保险缴费率的影响，所以基金制下的个人总效用就等于现收现付制下养老保险缴费率为0的情况。对width=18,height=15,dpi=110和width=18,height=15,dpi=110进行比较：

width=55,height=15,dpi=110width=158,height=15,dpi=110

width=158,height=15,dpi=110
⟺width=262,height=35,dpi=110

width=181,height=35,dpi=110
width=195,height=35,dpi=110
(22)

命题3 在外生生育率情形下，如果能够找到某个τ(0<τ<1)值，满足不等式(22)，则说明在t时期条件一样的假定下，政府在t+1时期选择现收现付制可以使t时期成年人一生总效用大于基金制下的总效用。

三、内生生育率情形下的养老保险筹资模式比较
(一)基本模型设定
1.家庭部门。现在考虑生育率内生的情形，即生育子女数由家庭内生决定。其他条件依然不变，只是父母不但在意消费，也在意生育子女的数量和子女的教育，其中，教育用父母在子女身上所花费的教育支出来表示。假设子女数量和子女教育都可正常赋值。因此，个人效用来自成年时期消费ct、老年时期消费ct+1、子女数量nt以及子女教育支出et。基于Strulik et al.(2013)以及Prettner & Werner(2016)的设定，效用函数采取如下对数形式：

lnct+βπlnct+1+γlnnt+θlnet

(23)

式中，γ和θ分别为子女数量和子女教育在家庭效用函数中的权重。同样，人们在成年时期做出家庭行为决策，选择成年时期消费、老年时期消费、储蓄、子女数量以及为每个子女在人力资本投资上花费的教育支出。在成年时期人力资本ht给定的情况下，其预算约束为：

ct+st=wtht(1-τ)-φntwtht-ηntetwtht

(24)

式中，wtht表示家庭劳动投入标准化为1时的劳动收入；η是子女教育支出的单位成本，同样假定与收入呈固定比例。假设家长是在家教育子女，这与假设有一个教育部门提供教师，而家庭为教师提供教育支出的模型所得定性结果相同(Prettner & Werner，2016)。子女人力资本ht+1取决于父母人力资本ht以及子女教育支出et。子女人力资本随父母对子女教育支出增加而增加，参数ξ>0。此外，即使没有父母在教育方面投资，子女也可以通过父母耳濡目染来获得人力资本(Strulik et al.，2013)。因此，子女人力资本为：

ht+1=ξetht+ht

(25)

存活的老年时期预算约束仍为式(3)。在受式(24)、式(25)和式(3)的预算约束下，家庭根据效用最大化的原则来决定变量ct，ct+1，st，nt和et。解得：

width=276,height=56,dpi=110
(26)

width=236,height=56,dpi=110
(27)

在此模型中，子女教育支出et=θφ/(γη-θη)，不受任何时间变量影响，故也不会受不同养老保险筹资模式的影响。

2.生产部门。包含人力资本的企业生产函数设为：width=212,height=15,dpi=110其中，Yt是总产出；Kt是总资本存量；Ht是总有效劳动投入量，即经济体中总人力资本投入量，是由平均人力资本与总劳动人口乘积而得，即Ht=htLt。令kt=Kt/Ht和yt=Yt/Ht分别为有效人均资本和有效人均产出，则有效人均生产函数依然为：width=65,height=13,dpi=110同样，资本收益率和劳动工资率依然可以表述为width=80,height=15,dpi=110和width=116,height=13,dpi=110只是含义发生了改变。

3.政府部门。假设政府实行现收现付制，将式(9)代入式(26)和式(27)，得到现收现付制下的生育率width=14,height=13,dpi=110和储蓄width=12,height=13,dpi=110分别为：

width=324,height=36,dpi=110
(28)

width=345,height=81,dpi=110
(29)

假设政府实行基金制，将式(12)代入式(26)和式(27)，得到基金制下的生育率width=15,height=15,dpi=110和储蓄width=13,height=15,dpi=110分别为：

width=126,height=34,dpi=110
(30)

width=152,height=35,dpi=110
(31)

由上式可知，现收现付制下的子女数量受时间变量的影响，这是由于现收现付制下的代际转移除了来自储蓄，还来自工资收入(通过养老金Pt+1而转移)。现收现付制下的养老金与子女数量之间存在联系，因此，子女数量会受到养老保险缴费率的影响。而基金制下没有发生工资收入代际转移，又由于生育子女成本按时间单位衡量，收入增加会同比例提高生育子女的机会成本。意味着收入增加不会改变生育子女数量，这一点也在工业化国家得到了经验验证(Galor & Weil，2000)。同样，基金制与没有养老保险制度相差仅仅是私人储蓄与政府储蓄之间的相对值大小，对消费、生育等变量不产生影响。

(二)两种养老保险筹资模式比较
1.一般均衡条件下的比较。在现收现付制下，市场出清由式(15)表示，将式(28)和式(29)代入式(15)，得到有效人均资本动态方程：

width=294,height=99,dpi=110
(32)

稳态状况下，width=138,height=15,dpi=110由式(32)解得：

width=324,height=100,dpi=110
(33)

在式(33)条件下，可得生育率的稳态值为：

width=298,height=35,dpi=110
(34)

而在基金制下，总储蓄等于私人储蓄加政府储蓄，故其有效人均资本动态方程及稳态值为：

width=324,height=55,dpi=110
(35)

width=208,height=100,dpi=110
(36)

从式(33)和式(36)知，命题1和命题2依然成立。同样，接下来从福利经济学视角对内生生育率下的两种养老保险筹资模式进行比较分析。

2.福利经济学视角的比较。依然分析不同养老保险筹资模式下的个人一生总效用，在t时期的经济体对t+1时期的养老保险筹资模式进行选择，t时期的经济变量已给定。如果经济体选择下一期为现收现付制，根据式(28)、式(29)和式(23)，则个人一生总效用为：

width=221,height=40,dpi=110
(37)

如果经济体选择下一期为基金制，根据式(30)、式(31)和式(23)，则个人一生总效用为：

width=221,height=40,dpi=110
(38)

对式(37)和式(38)进行比较。

width=55,height=15,dpi=110
width=174,height=15,dpi=110
width=174,height=15,dpi=110
⟺width=315,height=36,dpi=110

width=132,height=33,dpi=110
width=162,height=36,dpi=110

(39)

命题4 在内生生育率情形下，如果能够找到某个τ(0<τ<1)值，满足不等式(39)，则说明在t时期条件一样的假定下，政府在t+1时期选择现收现付制可以使t时期成年人一生总效用大于基金制下的总效用。

四、数值模拟
为进一步比较外生和内生生育率情形下两种养老保险筹资模式之间的差异，本部分采用数值模拟，对不同养老保险缴费率下的人均资本及社会福利进行分析。由于理论分析表明，基金制下人均资本和社会福利均不受缴费率的影响，等同于现收现付制下缴费率为0的情形。因此，只需对现收现付制进行数值模拟，即可比较两种养老保险筹资模式。

(一)参数设置
由于本文模型是世代交替模型，故对模型的数值模拟在一个时期(即一代)时间长度约为30年的情况下进行。其中，资本份额α根据一般经验规则设为1/3(Balasko & Shell，1980；Croix & Doepke，2003；严成樑，2016)。技术参数A是比例参数，设为A=10(Cipriani，2016)；贴现因子β取决于时间单位的选择，相关文献设为β=0.689 2(Prettner & Werner，2016)或β=1(Hashimoto & Tabata，2016)，本文选择在其范围内设为β=0.95(Cipriani，2016)。老年存活率在当今医疗比较发达的条件下，可变幅度不大，设为π=0.95(Fanti & Gori，2014)。根据Prettner & Werner(2016)的用法，子女数量效用权重设为γ=0.532；子女教育效用权重设为θ=0.05；抚养子女的成本设为φ=0.19。此外，由于子女教育支出et是常数，因此只需要知道ht+1/ht数值即可进行数值模拟。根据Prettner & Werner(2016)所设置的人力资本相关参数值计算可得，ht+1/ht=1.142。其中，技术参数A、子女教育效用权重θ以及ht+1/ht在比较个人总效用中会被相互抵消而变得无足轻重。在外生生育率情形下，假定n=1，即人口规模保持不变。因此，各种参数设值如表2所示。

表2 参数赋值

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图1 人均资本动态路径

(二)外生生育率情形下的模拟结果
首先对外生生育率情形下的人均资本动态路径进行模拟。不同养老保险缴费率下人均资本的动态曲线如图1所示。为了方便，统一假定人均资本k0=1(不同的k0值不会对稳态值k*产生影响)。其中，τ=0意味着是基金制或没有养老保险制度。从图1可知，人均资本的稳态值在前4个时期增长较快，到了第5个时期后就基本达到了稳态水平。现收现付制养老保险缴费率越高，稳态人均资本就越低，当τ=0时，稳态人均资本最高。

接下来，比较两种筹资模式对个人一生总效用(福利)的影响。如前所述，如果存在τ(0<τ<1)满足不等式(22)，则说明现收现付制有其存在合理性。由式(22)，生成如下关于τ的函数：

f(τ)=width=275,height=35,dpi=110

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图2 函数f(τ)的局部动态图(0≤τ≤0.3)

可知，f(τ)仅受参数α，β，π，φ，n的影响，将上述参数值代入f(τ)，可得函数f(τ)的变化趋势。如图2显示，函数f(τ)呈先上升后下降的抛物线形式，在τ=0时，f(τ)=0，即当养老保险缴费率是0时，两种模式没有区别。随着τ逐渐增加，f(τ)逐渐上升，并持续到τ=0.121时，f(τ)达到最大值。此后τ的增加会导致f(τ)逐渐下降，并于τ=0.245时，f(τ)下降到0，且下降的幅度越来越快。这表明只要缴费率τ<0.245，现收现付制下的个人总效用就高于基金制下的个人总效用，其中，当τ=0.121时，现收现付制下的个人总效用达到最高。当τ>0.245，则基金制下的个人总效用高于现收现付制下的个人总效用，且τ越大，现收现付制下的个人总效用损失越多，基金制下的个人总效用相对就越高(基金制下的个人总效用不会随τ而变化)。由此可知，在考虑了低的资本收益率后，现收现付制有其存在合理性，在一定的养老保险缴费率范围内，现收现付制下的个人总效用可以高于基金制下的个人总效用，从而使当期决策人群选择实行现收现付制养老保险筹资模式。

(三)内生生育率情形下的模拟结果
在内生生育率情形下，将人力资本考虑进去，对有效人均资本动态路径进行模拟。有效人均资本动态曲线与图1形状一样(由于篇幅所限，图形省略)，即现收现付制养老保险缴费率越高，稳态有效人均资本越低，当τ=0时，稳态有效人均资本最高。此外，数值模拟显示了养老保险缴费率τ与生育率n之间负相关，缴费率τ越低，生育率n越高，且只要τ<0.121，就有n>1。由此也可知，若其他条件一样，养老保险缴费率τ越低，外生生育率的人均资本就会高于内生生育率的人均资本。

比较内生生育率下两种筹资模式对个人一生总效用(福利)的影响，数值模拟检验是否存在τ(0<τ<1)满足不等式(39)。由式(39)，生成如下关于τ的函数：

g(τ)

=width=315,height=36,dpi=110

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图3 函数g(τ)的局部动态图(0≤τ≤0.25)

可知，g(τ)仅受参数α，β，π，γ，φ的影响。如图3显示，函数g(τ)也是呈先上升后下降的抛物线形式，只是其形状与f(τ)有所区别(g(τ)和f(τ)的纵坐标没有可比性，因为在比较分析时约掉了不等式两边相同的数值)。随着缴费率τ的增加，g(τ)逐渐上升，并持续到τ=0.063时，g(τ)达到最大值；此后τ的增加会导致g(τ)逐渐下降，并于τ=0.128时，g(τ)下降到0。这表明只要缴费率τ<0.128，现收现付制下的个人总效用就高于基金制下的个人总效用，其中，当在τ=0.063时，现收现付制下的个人总效用达到最高。当τ>0.128，基金制下的个人总效用相对较高。因此，在内生生育率情形下，现收现付制也有其存在的合理性，在一定的养老保险缴费率范围内，当期决策人群选择实行现收现付制会优于基金制，只是这个范围要小于外生生育率的情形，且养老保险缴费率的最佳值也小于外生生育率的情形。

(四)模型稳健性检验
上述数值模拟结果显示：在外生生育率下，现收现付制缴费率在12%左右时社会福利最高；在内生生育率下，现收现付制缴费率在6%左右时社会福利最高。两种情况都表明一定缴费率下的现收现付制社会福利可以更高。但这样的结果是否只是由于特殊的参数设值而造成的巧合？这部分就将对数值模拟进行稳健性检验，以考察模型结果是否对参数取值敏感。在上述分析中知，f(τ)仅受参数α，β，π，φ，n的影响，g(τ)仅受参数α，β，π，φ，γ的影响，故只需要检验参数α，β，π，φ以及n(外生生育率下)和γ(内生生育率下)的变化是否会对基准数值模拟结果产生影响。

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图4 外生生育率下n变动对f(τ)的影响

图4显示在外生生育率下，生育率变动对f(τ)的影响，可以看出，都是向下凹的抛物线，只是顶点位置有所不同。在n=0.8，n=1及n=1.2情况下，f(τ)顶点对应的τ分别为0.135，0.121和0.105，f(τ)与横坐标交点(除了原点)对应的τ分别为0.276，0.245和0.212，分别表示只要τ<0.276，τ<0.245和τ<0.212，现收现付制下的个人总效用就会高于基金制下的个人总效用。对其他参数的稳健性检验也是如此，这部分只是考虑单个参数值变动对模型产生的影响，且只将其f(τ)或g(τ)顶点对应的τ以及f(τ)或g(τ)与横坐标交点对应的τ列出，结果如表3所示。

从表3可知，外生生育率下β，π，φ，n在合理范围内变动，内生生育率下β，π，φ，γ也在合理范围内变动，都不会改变基准数值模拟的主要结论，即一定缴费率下的现收现付制社会福利可以更高。外生生育率下现收现付制缴费率的合理范围高于内生生育率的情形。外生生育率下，缴费率大致在11%左右达到最大值；内生生育率下，缴费率大致在6%左右达到最大值。值得注意的是，模型结果对参数α即资本份额的敏感性相对较强，当α数值变大时，现收现付制的净福利下降较快。在外生生育率下，当α>0.42，现收现付制的净福利变为负；在内生生育率下，当α>0.4，现收现付制的净福利变为负。考虑到国内外大多数文献都是将资本份额赋值为0.33(如Croix & Doepke，2003；Fanti & Gori，2014；Agénor & Neanidis，2015；Cipriani，2016；严成樑，2016)，尤其是发达经济体，资本份额赋值为0.33已成为共识，即使参数α在小范围的变动，也不会改变基准数值模拟的主要结论。因此，通过对参数的不同设值分析可以认为，基准数值模拟的主要结论是稳健的。

表3 模型的稳健性检验

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(五)蒙特卡洛模拟的进一步检验
上部分稳健性检验只是采用十分有限的参数组合对基准数值模拟进行检验，这依然不能排除某种巧合而使这数十种参数组合都出现相同的定性情形，因此，尚需进一步分析参数设值，以减少参数取值巧合而得出的结果。本部分采用蒙特卡洛模拟法对参数设定进行稳健性检验，模拟过程由R软件实现。具体操作步骤如下：

首先，选定参数的合理取值范围，分别设定为α∈[0.3,0.4]，β∈[0.8,1]，π∈[0.9,1]，φ∈[0.1,0.3]，n∈[0.8,1.2]和γ∈[0.3,0.7]，该范围几乎包含了所有相关经典文献对这些参数的设定值(如Balasko & Shell，1980；Croix & Doepke，2003；Cipriani，2016)。其次，对各参数根据均匀分布进行5 000次随机取值，共得到5 000个参数组合，将每个参数组合分别代入到式(22)和式(39)中，从而得出5 000个f(τ)和g(τ)。再次，根据不同的f(τ)和g(τ)计算出各自顶点和交点对应的τ值，进而分别得到5 000个与f(τ)顶点对应的τ值、与f(τ)交点对应的τ值、与g(τ)顶点对应的τ值以及与g(τ)交点对应的τ值。为了减少随机因素可能造成的差异，对蒙特卡洛模拟实验独立重复50次。

将50次实验结果平均，得出表4中的相关数据。由表4可知，与f(τ)顶点对应的τ平均值为0.097，低于基准参数计算所得的0.121，与f(τ)顶点对应τ值的90%，95%和99%置信区间分别为[0.045,0.148]，[0.032,0.161]和[0.009,0.181]，这三个置信区间都包含了基准数值0.121。根据表4相关数据可知，与f(τ)交点对应的τ平均值为0.198，低于基准数值(0.245)，但基准数值也包含在三个置信区间范围内。同理，与g(τ)顶点和交点对应的τ平均值分别为0.054和0.114。在表4中也可以看出，即使是在1%的小概率事件下，f(τ)和g(τ)顶点对应的τ值依然大于0。

这表明采用蒙特卡洛模拟法进行检验，也不会改变基准数值模拟的主要结论，即一定缴费率下的现收现付制社会福利更高。其中，外生生育率下的缴费率大致在9.7%左右达到最大值，而内生生育率下的缴费率大致在5.4%左右达到最大值，略低于基准数值模拟结果，但基准数值模拟结果都包含在蒙特卡洛模拟的置信区间范围内。因此，通过蒙特卡洛模拟法分析认为，基准数值模拟的主要结论是稳健的。

表4 蒙特卡洛模拟结果的置信区间

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五、结论与启示
现收现付制和基金制是养老保险筹资的两种基本模式。从理论上来讲，基金制可以导致更高的人均资本几乎已成共识。在OLG模型框架下，如果成年时期选择基金制，则在老年时期的人均资本就会高于现收现付制。而高人均资本一方面可以导致高人均产出，从而提高消费；另一方面也可以导致低资本收益率，从而拉低消费。这两种不同的效应共同影响个人总效用。本文将代表性消费者(家庭)一生总效用当作社会总福利，分为外生生育率和内生生育率两种情形，分别对现收现付制和基金制进行比较。理论模型研究表明：无论是外生生育率还是内生生育率情形，如果偏好和参数的某些条件得到满足，现收现付制养老保险缴费率τ(τ∈(0,1))，都能使现收现付制下的社会福利高于基金制下的社会福利。数值模拟结果显示：对理论模型参数赋予常见的数值，能够得到养老保险缴费率τ(τ∈(0,1))使现收现付制下的社会福利较高。且在外生生育率下，现收现付制缴费率在12%左右时社会福利最高；而在内生生育率下，现收现付制缴费率在6%左右时社会福利最高。稳健性检验显示，只要参数赋值在合理范围内就不会改变数值模拟的主要结论。这些结论为讨论养老保险缴费率提供了理论借鉴。

由于西方发达国家长期以来实行生育自由政策，可以认为西方发达国家属于生育率内生的情形。从缴费率可以看出，美国、日本、德国的现收现付制养老保险缴费率分别为6.2%，7.7%和10%，与本文从福利经济学视角模拟的内生生育率情形下最优现收现付制养老保险缴费率相近。同时，这些主要发达国家也很少超过数值模拟的内生生育率情形下现收现付制缴费率临界值。

我国长期以来实行“一胎化”的计划生育政策(严格来说，计划生育政策并非对所有人群一成不变，城乡、民族、地区之间并不相同，在一些条件下允许生育二胎，但大多数情况下，居民只能生育一胎)，直到2016年才全面开始实施“一对夫妇可生育两个孩子”的政策。考虑到文化因素，我国家庭主动选择不生育子女情况很少，故当前家庭生育子女数的选择只有一个或两个，可选择性低，因此，某种程度上可以认为我国更符合生育率外生的情形。从数值模拟结果可知，在外生生育率情形下，现收现付制养老保险缴费率在12%左右时个人总效用最高，这与研究我国社会统筹部分缴费率应下降到15%左右的观点类似(柳清瑞等，2013；路锦非，2016)，也处于康传坤和楚天舒(2014)得出的最优统筹缴费率变动区间(10.22%～19.04%)之内，尽管本文测算(模拟)的方法与这些研究并不相同。

综上所述，基于理论模型的数值模拟结果表明，即使是外生生育率情形下，我国长期实行的20%现收现付制养老保险缴费率也明显过高，甚至现行16%的缴费率仍有所偏高。若是内生生育率情形，则我国现行现收现付制养老保险缴费率更显偏高。因此，本文认为，无论是单从人均资本视角还是从社会福利视角，我国长期实行的20%社会统筹部分养老保险缴费率都太高，现行缴费率已下降到16%，但仍可考虑适度进一步降低社会统筹部分养老保险缴费率。

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A COMPARATIVE STUDY OF FINANCING PATTERN OF ENDOWMENT INSURANCE UNDER DIFFERENT FERTILITY RATES
WAN Chun-lin DENG Xiang LU Zheng

(School of Economics, Sichuan University)

Abstract: Theoretical studies generally show that as a financing pattern of endowment insurance, the funded system is superior to the pay-as-you-go system from the perspective of capital per capita. This article analyzes whether the funded system is completely superior to the pay-as-you-go system from the perspective of welfare economics with exogenous and endogenous fertilities. The theoretical model shows that: under a certain combination of parameters, either with exogenous fertility or endogenous fertility, there exists a contribution rate of pension that the social welfare under pay-as-you-go system is higher than that under funded system. The numerical simulation shows that: the contribution rate of pension can make the social welfare under the pay-as-you-go system higher. And in the case of exogenous fertility (which is in line with China’s fertility policy), the social welfare is the highest when the contribution rate of pay-as-you-go pension is around 12%; in the case of endogenous fertility (which is in line with developed countries’ fertility policy), the social welfare is the highest when the contribution rate of pay-as-you-go pension is around 6%. The former value is similar to the existing research conclusions that China’s contribution rate of pay-as-you-go pension should be reduced to around 15%, and the latter value is similar to the current contribution rate of pay-as-you-go pension in developed countries such as the United States (6.2%) and Japan (7.7%). The robustness test shows that: the conclusions of the numerical simulation remain as long as the parameter assignment is within a reasonable range. This paper provides theoretical support for the reduction of China’s contribution rate of pay-as-you-go pension.

Key words: pay-as-you-go system; funded system; contribution rate of pension; social welfare; OLG model