中石油（北京）《高等数学（二）》期末复习题

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《高等数学（二）》期末复习题
一、选择题
1、若向量 与向量 平行，且满足 ，则 （      ）
   （A）                    （B）   
（C）                   （D） .
2、在空间直角坐标系中，方程组 代表的图形为  (       )
（A）直线       (B)  抛物线      （C） 圆        (D)圆柱面   
3、设 ，其中区域 由 所围成，则 （        ）
　(A)          　(B)  
  (C)　         (D)  
4、 设 ，则  （        ）
   （A）9       (B) 6      （C）3        (D)   
5、级数   的敛散性为 （        ）
（A） 发散      (B) 条件收敛     (C) 绝对收敛       (D)  敛散性不确定
6、二重积分定义式 中的 代表的是（   ）
　（A）小区间的长度　(B)小区域的面积　(C)小区域的半径　(D)以上结果都不对
7、设 为连续函数，则二次积分 等于   (      )
（A）              (B)  
(C)           (D)   
8、方程 表示的二次曲面是    (        )
（A）抛物面     （B）柱面    （C）圆锥面      （D） 椭球面         
9、二元函数 在点 可微是其在该点偏导数存在的（     ）.
（A） 必要条件    （B） 充分条件    （C） 充要条件    （D） 无关条件
10、设平面曲线L为下半圆周  则曲线积分 (       )
(A)                (B)             (C)                (D)   
11、若级数 收敛，则下列结论错误的是  （      ）
(A) 收敛  (B)  收敛   (C) 收敛    (D)   收敛
12、二重积分 的值与      （     ）
   （A）函数f及变量x,y有关；       (B) 区域D及变量x,y无关；
   （C）函数f及区域D有关；        (D) 函数f无关，区域D有关。
13、已知 且  则x = (       )      
（A） -2           （B） 2       （C） -3          （D）3
14、在空间直角坐标系中，方程组 代表的图形为(      )
   （A）抛物线      (B)  双曲线    （C）圆       (D)   直线
15、设 ，则 = （   ）
(A)     (B)     （C）      (D)
16、二重积分 交换积分次序为 (      )
（A）              (B)   
(C)                (D)   
17、若已知级数 收敛， 是它的前 项之和，则此级数的和是（      ）
（A）          (B)        (C)            (D)  
18、设 为圆周： ，则曲线积分 的值为（      ）
   （A）       (B) 2      （C）          (D)   
19、 设直线方程为  ，则该直线必 (      )
（A） 过原点且 轴                      （B）过原点且 轴
   （C） 过原点且 轴                      （D）过原点且 轴
20、平面 与直线 的交点坐标为（     ）
(A)（1，1，2）       (B)（2，3，4）    （C）（1，2，2）   (D)（2，1，1）
21、考虑二元函数的下面4条性质：
①  在点 处连续；   ② 在点 处的两个偏导数连续；
③ 在点 处可微；    ④ 在点 处的两个偏导数存在.
若用“ ”表示可由性质 推出性质 ，则有    （       ）
（A）② ③ ①    (B) ③  ② ①   (C)  ③ ④ ①    (D) ③ ① ④
22、下列级数中绝对收敛的级数是(      )
(A)       (B)     (C)    (D)
23、设 ，则 ＝（       ）
（A）     （B）     （C）      （D）
24、设a为常数，则级数     （        ）
(A) 发散   (B) 条件收敛    (C)  绝对收敛      (D)  收敛性与a的取值有关
25、设常数 ，则级数  （　　  　）
(A) 发散       (B)条件收敛    (C)绝对收敛    (D)敛散性与 的取值有关
26、   (        )           
(A)        (B)     (C)     (D)
二、填空题
1、              
2、二元函数  ，则                                
3、积分 的值为                     
4、若  为互相垂直的单位向量， 则               
5、交换积分次序                       
6、级数 的和是            
7、                  
8、二元函数  ，则                 
9、设 连续，交换积分次序                        
10、设曲线L：  ，则               
11、若级数 收敛，则              
12、若 则                  
13、                 
14、已知 且  则x =           
15、设 则                  
16、设 连续，交换积分次序                 
17、级数 ，则级数 的和是                 
18、设 为圆周： ，则曲线积分 的值为            
19、                 
20、已知 , 则                                   
21、               
22、已知向量 、 满足 ， ，则           
23、设 为连接 与 两点的直线段，则            
24、                  
25、 ， ， 与 的夹角是 ，则               
26、已知三角形的顶点                  
27、点  到点 的距离                     
28、若 则            
29、                  
30、函数 求                  
三、解答题
1、（本题满分12分）求曲面 在点 处的切平面方程。
2、（本题满分12分）计算二重积分 ，其中 由 轴及开口向右的抛物线
和直线 围成的平面区域。
3、（本题满分12分）求函数 的全微分 。
4、（本题满分12分）证明：函数 在点（0，0）的两个偏导数存在，但函数 在点（0，0）处不连续。
5、（本题满分10分）用比较法判别级数 的敛散性。
6、（本题满分12分）求球面 在点 处的法线方程。   
7、（本题满分12分）计算 ，其中 。
8、（本题满分12分）力 的作用下，质点从 点沿   移至
点，求力  所做的功 。
9、（本题满分12分）计算函数 的全微分。
10、（本题满分10分）求级数 的和。
11、（本题满分12分）求球面 在点 处的切平面方程。
12、（本题满分12分）设 ,求 。
13、（本题满分12分）求 ，其中 是由 ， ，
在第一象限内所围成的区域。
14、（本题满分12分）一质点沿曲线 从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程中，力 所作的功 。
15、（本题满分10分）判别级数   的敛散性。
16、（本题满分20分）
求一条过点 与一平面 平行，且与直线 相交的直线方程.   
17、（本题满分20分）
求椭球面 上的点 ，使直线 在过 点的切平面上.
18、（本题满分12分）计算二重积分 。
19、（本题满分12分）已知 ，确定的 ，求 。
20、（本题满分12分）设 是由方程  所确定的隐函数，求 、 .
21、（本题满分10分）计算二次积分  .
22、（本题满分10分）计算函数 的全微分.
23、（本题满分10分）计算二重积分   其中D：0≤x≤1,0≤y≤1 .
24、（本题满分10分）已知向量 ，求  和 .
25、（本题满分10分）求曲面 在点 处的切平面方程.

《高等数学（二）》期末复习题答案
一、选择题
1、A   解：利用平行向量对应的坐标成比例，设 ，又因

2、C   解：将 代入 得到 ，此时图形为圆。
3、D   解：用极坐标计算方便，

4、A   解：利用曲线积分的性质，则   
5、B  解：由莱布尼兹判别法可得到级数  收敛，但
发散 ，所以  是条件收敛。
6、D  解：二重积分定义式 中的 是分割细度，代表的是n个小闭区域直径中的最大值。
7、B  解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得

8、A  解： 在三维空间里表示的是抛物面。     
9、B  解： 在点 可微一定能推出偏导数存在，所以是充分条件。
10、C 解：利用曲线积分的性质，则沿着下半圆周 的曲线积分
11、B  解：若级数 收敛，由收敛的性质A,C,D三个选项依然是收敛的，而 未必收敛，或者排除法选择B。  
12、C 解：二重积分 的值与函数有关，与积分区域有关，而与积分变量的字母表达没关系。     
13、B 解：利用平行向量对应的坐标成比例， 则x=2
14、B 解：将 代入 得到 代表的图形为双曲线。
15、B 解：对y求偏导时，x看作常数， ，则 =  
16、A  解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得
  
17、C 解：利用级数收敛的定义可得  
18、D 解：利用曲线积分的性质，被积函数关于x是奇函数，由对称性，可得则曲线积分
19、A解：直线方程为  ，则原点坐标 满足方程，该直线必过原点，直线的方向向量为  ，x轴的方向向量为 ，又因为 ，所以直线过原点且 轴。                     
20、C 解：将直线方程写成参数式，代入平面方程求交点坐标，或者代入法验证也可。 代入 得 交点坐标为（1，2，2）
21、A  解：熟悉二元函数的概念之间的联系，偏导数连续 可微 连续；或者
偏导数连续 可微 偏导数存在
22、B  解：  绝对收敛。
23、B  解：对y求偏导时，x看作常数，   ，代入点的坐标
24、C 解： 级数 绝对收敛。  
25、B 解： 级数 条件收敛
26、C 解：交换积分次序后计算简单

二、填空题
1、  2  解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。
2、  解：对x求偏导时，y看作常数，
         
3、  解：用极坐标求解简单
      
4、 0    解： 两个向量垂直，则点积为0  
5、   解：画出积分域，再确定积分限
   
6、   解：
7、     解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。


8、  解：对y求偏导时，x看作常数，
   
9、  解：画出积分域，再确定积分限
   
10、 0  解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为0

11、 -1 解： 收敛
12、   解：设     
13、   解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。


14、  3  解： 两个向量垂直，则点积为0
15、   解：考查全微分的概念，先求两个偏导，求全微分，再代入定点
又因为
  
16、  解：画出积分域，再确定积分限
  
17、   解：   
18、 0  解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为0，则
19、   解：本题用到了连续函数的性质，等价无穷小的替代，
  
  
20、  解：本题用到向量积的求解方法
, 则         
21、    解：
22、   解： ，又 ，
23、   解： 为连接 与 两点的直线段，此线段的方程是 ，此线段的长度是 ，
24、  2   解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。

  
25、 解：利用向量积的模的求解方法  
26、 解：利用向量积的模的几何意义，三角形的面积
  
27、    解：利用两点间的距离公式
  
28、  3  解：利用点积公式
29、   解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。


30、    解：对x求偏导时，y看作常数，求完偏导以后代入已知点的坐标
代入点的坐标  
三、解答题
1、（本题满分12分）
解：设              
则    ，   ，         
对应的切平面法向量      
代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0）         
则切平面方程：     
或            
2、（本题满分12分）
解 ：   
      
     
   
               
3、（本题满分12分）
解：因为  ，   ，  
                  
所以     
4、（本题满分12分）
解：   
同理                                    
所以函数在（0，0）点两个偏导数存在。               
               
不存在                              
因此函数在（0，0）点不连续                     
5、（本题满分10分）
解：  ，            
而     是收敛的等比级数                        
原级数收敛                                                      
6、（本题满分12分）
解：设               
则    ，   ，            
对应的法向量        
代入 可得法向量：（2，4，6）              
则法线方程：               
7、（本题满分12分）
解：               
                        
                             
8、（本题满分12分）
                          
                        
                     
                           
                                    
9、（本题满分12分）
，                        
                                                         
   
      
10、（本题满分10分）
解：               
           
     
                          
        
所以级数 的和为1

11、（本题满分12分）
解：设               
则    ，   ，            
对应的切平面法向量        
代入 可得法向量：（2，4，6）              
则切平面方程：     
或        
12、（本题满分12分）
解：因为      
所以      
13、（本题满分12分）
解：令 ，则 ，
所以                              
14、（本题满分12分）
                        
            
                       
                           
                                          
15、（本题满分10分）
解： 设      
于是      
故 发散。
16、（本题满分20分）
解：直线 的参数方程为      
所求直线的方向向量为 与平面 的法向量 垂直，即
得      

所求直线为         
17、（本题满分20分）
解：设点 为所求的点，则椭球面在 点处的法向量 ，
切平面的方程为
直线 的方向向量 ，由已知条件得 ，即

而直线 上的点 必在切平面上，因此 ，
而点 在椭球面 上，即         
解得  和  ，即点 为  或  .  
18、（本题满分12分）
解：记 为积分区域在第一象限的部分，则由奇偶对称性，
=  
19、（本题满分12分）
设 ，则有

  

20、（本题满分12分）
解：等式两端求微分得：
   
于是  
所以 ，   
21、（本题满分10分）解：交换积分次序可得      
22、（本题满分10分）
解： ，              
         
23、（本题满分10分）
解： 原式=                           
24、（本题满分10分）
解：                    
        
                                 
25、（本题满分10分）
解：对应的切平面法向量      
设                     
则    ，   ，      
代入（1，2，3）可得法向量：（9，4，2）         
则切平面方程：     
或