西交《线性代数》faq（六）
西交《线性代数》FAQ（六）特征值与特征向量
一、阶方阵是否一定有个线性无关的特征向量？
答：不一定。当的个特征值两两互异时，才一定有个线性无关的特征向量；否则就不一定。比如，的特征值。对应于线性无关的特征向量只有一个，故只有两个而不是三个线性无关的特征向量。
二、的解向量是否都是对应于的特征向量？假如都是对应于的特征向量，的线性组合是否都是的特征向量？
答：不是。满足的非零向量才是对应于的特征向量。是的解，但不是特征向量。因为都是对应于的特征向量，所以都不是零向量，且有
，。根据矩阵的运算性质，有
其中为常数，所以的任意非零线性组合
都是的特征向量。
三、特征值与特征向量之间有什么对应关系？
答：特征值和特征向量之间的关系可从以下几个方面考虑：
（1）由于属于特征值的特征向量的任意非零线性组合还是属于特征值的特征向量，所以一个特征值一定有无穷多个特征向量；
（2）一个特征向量只能属于一个确定的特征值，而不能属于不同的特征值；
（3）矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关；
（4）矩阵A的属于同一特征值的线性无关的特征向量的个数不超过特征值的重数，也可能少于的重数。
四、特征向量的几何意义是什么？
答：由定义，如果非零列向量是n阶矩阵A的对应于特征值的特征向量，则有，从变换的角度看，相当于经变换后变成，它们在同一直线上，若，则方向相同；若，则方向相反；若，则变成零向量。
五、若n阶矩阵A有一个特征值为零，问A是否是可逆矩阵？
答：A是不可逆的，实际上，n阶矩阵A有一个特征值为零是A为不可逆矩阵的充分必要条件。证明如下：若A有一个特征值为，相应的特征向量为，则有。这说明线性方程组有非零解，即，A不可逆。反之，若A可逆，则必有非零解，于是，即A有特征值0.该结论的等价说法是：矩阵A可逆的充分必要条件是A的特征值都不等于零。
六、假定两个矩阵等价，它们是否相似？又假定两个矩阵相似，它们是否等价？哪些矩阵与单位矩阵等价？哪些矩阵与单位矩阵相似？
答：如果，那么就存在满秩矩阵，使成立。如果，那就有满秩矩阵，使因此，如果，令，则有，所以，反之因为不一定等于，所以两个矩阵相似必等价，等价不一定相似。任何满秩矩阵都可用初等变换化为单位矩阵，所以满秩矩阵与单位矩阵等价。设，则存在可逆矩阵，使成立，即，所以只有单位矩阵才与单位矩阵相似。
七、若通过与相似，而且通过与相似，试问：与相似吗？
答：相似。根据题意可得
令，则，即通过与相似。
八、相似矩阵有相同的特征值，反之，有相同特征值的矩阵是否一定相似呢？
答：不一定。容易找到反例说明有相同特征值的矩阵未必相似，例如设
，
由于上三角矩阵的特征值就是对角线上的元素，所以A和B有相同的特征值，但前面已经知道，与单位矩阵相似的矩阵只有单位矩阵本身，所以A和B不相似。
九、典型例题
例1（1）若A2 = E，证明A的特征值为1或1；
（2）若A2 = A，证明A的特征值为0或1.
证明（1）
（2）
例2设阶方阵有特征值，求的特征值；若可逆，求的特征值。
解：由题设可知，存在,使得，等式两边同乘以可得
，所以的特征值为。
因为，所以的特征值
为。
当可逆时，，故的特征值，。
故的特征值为。
由于，得，即，故知有特征值。
同理。故的特征值为。
例3求矩阵的特征值和特征向量。
解：特征多项式为
。
故（二重根）。
时，求解
。
所以就可以写成
令，得基础解系。
就是矩阵的对应于的特征向量。全部特征向量为。
时
所以就可以写成
取得
取得
均为矩阵的的特征向量。其全部特征向量为，其中，不全为零。
例4设
解 (1），
(2）
例5计算
解
，
例6设
A与B相似.
求a,b的值；
（2）求可逆矩阵P,使=B.
解 （1）A与B相似，故A与B有相同的特征多项式，即：
（2）
，
最后解得可逆矩阵使得
例7设A =与对角阵相似，求x，y满足的条件.
解
由于与对角矩阵相似，，本内容由易百网整理发布
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