西交《线性代数》faq（三）
西交《线性代数》FAQ（三）方阵、逆方阵
一、设，问：与的关系如何？
答：；；
因为，，
又，所以。
二、如果的元素都是整数，且或，则的元素也是整数。为什么？
答：因为，所以可逆，又的元素是整数，的伴随矩阵的元素也是整数，而
故的元素也是整数。
三、设为单位矩阵，是与矩阵同阶的方阵。试说明：若，则等式
中哪些总是成立？哪些不成立？
答：由等式可得或，由此可知都是可逆的，即存在。
在等式两边分别左乘、右乘，可得，即。类似的，在等式两边分别左乘、右乘，可得，即。而其它等式不成立。
四、求逆矩阵的方法有哪些？
（1）伴随矩阵法 （2）初等变换法 （3）利用定义求
五、典型例题
例1求下列矩阵的逆矩阵
（1）（2）
解：对于（1）利用公式计算
，
所以
（2）也可用伴随矩阵方法求，我们用第2种方法初等变换法求解
，故
例2设是阶方阵，，求
解：因为，故有，于是可得
，所以可逆，且。
例3分块对角矩阵的逆矩阵：若，其中都是方阵，则称为分块对角矩阵。分块对角矩阵的行列式。
若则。
若，其中都是方阵，且，则。
例4
解：例4
证明：
所以可逆，且
所以可逆，
例5设方阵B为幂等矩阵（即对正整数k， ），证明：A是可逆矩阵，且
证明：
例6用克莱姆法则解方程组
.
解:
线性方程组有解，
例7
解: .
例8问为何值时，齐次线性方程组有非零解.
解：，
由齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式得
故当或或时，齐次线性方程组有非零解.
例9 有非零解？
解 时，方程组有非零解.本内容由易百网整理发布
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