西交《高等数学（下）》拓展资源（二）
西交《高等数学（下）》拓展资源（二）第九章重积分
例题1?计算 ，其中 D 为长方形域
解析
一般情形下，若 D 可表示为 ，且 为 D 内的连续函数，则有
可以认为将二重积分 化为定积分 与之积。
例题2?计算 ，其中 D 为 与 围成的封闭区域。
解析 积分区域 D 的图形如图所示。
由 可解得两条曲线的交点（-1，－1），（0，0），（1，1）
D 可以分为两部分。记第一象限部分为?D 1 ，第三象限部分 为 D 2 。
如果先对 y 积分，后对 x 积分。作平行于 y 轴的直线与区域 D 相交，沿 y 轴正方向看：
在 D 2 内入口曲线为 ，出口曲线为 。因此 D 2 可以表示为
在 D 1 内入口曲线为 ，出口曲线为 。因此 D 1 可以表示为
于是
※注意 画出积分区域 D 对于正确地选定二次积分限是有益的。事实上，如果不画出积分区域，可能认为
而导致错误。
例题3?计算 ，其中 D 由 所确定。
解析 积分区域 D 为以原点为圆心，半径为 2 的圆域，可以省略不画。
由于积分区域 D 关于 y 轴的对称，依二重积分的对称性质（见本章例题 2），考虑被积函数关于x 的奇偶性。易见 关于 x既非奇函数，也非偶函数。但是，若记 的奇函数为 x 的偶函数。因此由例题 2 中的结论有
由于 D 也关于 x 轴对称 为 y?的奇函数，因此
故
※注意 如果积分区域 D 关于坐标轴对称，应该注意考虑被积函数关于 x 或 y 的奇偶性，可能简化运算。
例题4求 ，其中 D 为所包围在第一象限内的区域。
解析 积分区域 D 的图形如图所示。
利用极坐标系。 D 的边界曲线
可以表示为 可以表示为可以表示为可以表示为 于是 D 可以表示为
故
上式中利用了 这是由 而得来。
例题5?计算三重积分 ，其中 的边界曲面 所围成的区域。
解析 积分区域 的图形如图所示。
解法1 所给积分区域 为球，因此
可考虑利用球面坐标系计算三重积分。
此时 的边界曲面
可以表示为 。区域 可以表示为
因此
原式
解法2 注意到被积函数仅依赖一个变量 z ，可以考虑先二重积分再单积分的方法计算。
由于积分区域 中限制 。若记 的的截面为。
则
原式
解法3 由于区域 在 面的投影区域 D 为圆：，可知本例也可以利用柱 面坐标计算。在柱面坐标系下， 的边界曲面的方程可化为。因此 可以表示为
故
原式
※注意从形式上本例为标准的利用球面坐标计算的题目，但是由计算的过程可以发现，本例采用先二重积分后单积分计算或采用柱坐标系计算都要比例利用球面坐标运算简便。这表明在算三重积分时，应该注意选择适当方法，以简化运算。
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