西交《高等数学（下）》faq（三）
西交《微积分（下）》FAQ (三)第十章 微分方程
一． 微分方程的通解一定包含方程的全部解吗？
答：首先我们应准确把握解和通解的概念。
解：凡能满足微分方程的函数就叫解。
通解：解中所含任意常数等于方程阶数的解叫通解。
讨论方程的解。
解此方程：分离变量：
两边积分：
于是得通解：。
由任意常数C取定的一个值，所得函数都是方程的解。
如：时，是解，是解等等，似乎通解
包含了全部解。
然而我们很容易验证是方程的解，但不能由通解得到，就是说无论c取何值，
由都得不到这个常数函数。这时，称为方程的奇解。
由此，可知：通解不一定能包含全部解。方程的全部解含通解和奇解。当然，如果没有奇解，那么通解就给出全部解
二．我们可以验证都是微分方程 的解，则是任意常数）是方程的通解。这个结论正确吗？为什么？
答：不正确。因为方程是2阶方程，通解中应只含2个任意常数，所以不是通解，事实上这样的根本不是方程的解。
我们可以证明是方程的两个线性无关的解，所以方程的通解应是。
三．我们可以验证是微分方程的解，又由于中含两个任意常数，所以y是方程的通解。这种认识对吗？为什么？
答： 不对，因为，令，
则，只含一个任意常数，它不是二阶方程的通解。由此说明，不能从表面看常数的个数，而应审定任意常数是否可合并为1个。
四．能否认为微分方程的解不是通解就是特解？
答：结合方程求解先把通解，将解的概念准确理解，以助于回答该问题。
求的通解。
解：，，所以通解为：
如果给定初始条件，求出，则得特解，如设 。
将代入y式：
将代入于是方程满足初始条件
的特解为。
我们可验证是方程的解，它只含一个任意常数，不是通解；终究含常数，也不是特解。
至此，我们知道了方程的解的概念确切理解是：解，通解和特解。
五．设是方程的两解，为什么不一定是方程的通解？（是任意常数）
答：是解，即有
是解，即有。
因为
若是解，应有 ，即
当时，充要条件是或。
由此可知，一般不是通解，若时，又有，含一个任意常数，可以是方程的通解。
所以只有满足时，它才构成通解。
六．实际问题中如何建立微分方程？
答：微分方程理论是研究动态经络模型的重要工具. 首先要找到哪些是变化量哪些是因变量，以及他们之间的变化关系，即函数关系。再令此函数关系的表达式等于所求微分即可。下面举例说明在经济活动中如何分析建立微分方程.
例. 设某种商品的需求弹性为（k为常数），
求该商品的市场需求函数，（这里Q为需求量，P为价格）.
解：根据需求弹性概念，有
于是，依题意得微分方程：
分离变量，得：
两端积分：
从而： .
由此例可知，若已知需求弹性，通过解微分方程可建立需求量依赖于价格的需求函数.
七．什么是 Robertson增长律？
设为现时值（如销售额），为饱和水平，若增长速度与成正比，与成正比，则
解之可得
这里为任意常数，此曲线称为逻辑曲线.
八．什么是市场价格动态学？
设某商品的供求函数如下：
又设任意时刻价格变化率与该时刻的超额需求成正比，故满足一阶方程：
A为调节系数.代入得
即.解得
，
其中，.
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