西交《高等数学（上）》拓展资源 (四)
西交《高等数学（上）》拓展资源(四)第四章不定积分
例题1 下列两个积分性质
为什么其右端不加任意常数 C ？
分析 凡是 则意味着它是 的全体原函数，即积分号包含了任意常数。所以只要有积分号，都可不添任意常数项。 一旦没有积分号，就要立即添上任意常数项，否则是错的 ，例如下面的运算是正确的：
移项整理，得
如果不添加任意常数项，而是写成
则是错误的。
例题2 检查运算 是否正确？
分析 只需验算 ，可知上述运算不正确。其原因在于这里错误地利用了基本积分公式 ，忽视了所给问题与公式的差异。由微分形式不变性可知 因此应有
相仿有
等等。这正是“凑微分”求积分的依据。
例题3 对于同一个积分施以不同的积分方法，若得出的结果形式不同，是否必定有运算错误？
分析 不一定。为了验算运算是否正确，只需对所给结果求导数，看其是否等于被积函数。事实上，如果运算正确，只要结果形式不同，那么这些不同的原函数之间只是相差一个常数。
例题4 求下列不定积分
（1）
解析 （1）将被积函数的分子按完全立方公式展开，分项相除化为幂函数之代数和，即
然后利用不定积分的基本性质，分项积分得
原式
例题5 求下列不定积分
（1） ；
（2）
解析 （1）用凑微分法，因为 ，于是可得
原式
（2）先将被积函数进行三角恒等变形，再用凑微分法求积分
原式
.
例题6 求下列积分
（1） ；
（2） ；
（3） 。
解析 （1）为化掉被积函数中的根号，由，可令则，于是可得
原式
= （其中）
（2）作变量代换，由 ，可令 ， ，则 ，于是可得
原式
（3）为了消去被积函数中的根号，由 ，可令 ，则。于是可得
原式
=
例题7 求下列不定积分：
（1） ；
（2） 。
解析 （1）被积函数 是乘积式，用分部积分法求积分，可令 ，则有
由分部积分公式，可得
原式
（2）被积函数虽然不是乘积式，但是含有对数函数，也需用分部积分法求积分，可令
，
.
于是可得
原式
例题8 设 的原函数为 ，求
解析 由题设可知，
利用分部积分公式，可得
=
=
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