连续函数平均值与积分中值定理浅析

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连续函数平均值与积分中值定理浅析

◎刘晓莉 戎海武 郭肖雯 杨庚华

(佛山科学技术学院，广东 佛山 528000)

【摘要】在积分学教学中，渗透连续与离散化思想，通过连续函数平均值的定义，展示定积分的本质是积分和的极限值这一特征以及函数平均值与积分中值定理的相互应用，开阔学习者的视野，提高应用能力.

【关键词】连续函数；平均值；定积分；积分中值定理

积分中值定理揭示了积分值与函数值内在关系是将复杂函数的积分化为简单函数积分的基础方法，也是定义函数平均值的利器.事实上，函数平均值的概念源于定积分中值定理，其性质的研究为连续函数在统计领域的应用奠定了理论基础.

但在教学中，若直接给出连续函数f(x)在区间[a，b]上平均值的定义为

初学者往往不甚理解，须循循善诱，先由有限量的算术平均值结合极限方法，引出连续函数平均值定义以及连续函数加权平均值和几何平均值的定义和性质，加强学习者对定积分概念和应用的认识.

一、函数算术平均值的定义

以有限个量f1，f2，…，fn的算术平均值为基础，若要计算连续函数f(x)对应于区间[a，b]上任意x的无穷多个量的平均值首先想到取出f(x)的有限个函数值，如f(x1)，f(x2)，…，f(xn)，其平均值为再取当n→∞时的极限：

这个极限存在与否及其计算，取决于f(x)在点xi在区间[a，b]上的分布状况等.

若将区间[a，b]分割成n个相等的小区间，每个小区间的长度皆为记第i小区间的右端点记为xi(i=1，2，…，n)，相应的n个值为f(x1)，f(x2)，…，f(xn)，其算术平均值为

其中

当n很大时，f(x)在每个小区间[xi-1，xi]上任意点处的函数值与f(xi)相差甚小，即当取n→∞时的极限，则收敛于f(x1)，f(x2)，…，f(xn)的算术平均值，即

又f(x)连续，因此

故连续函数f(x)在[a，b]上的算术平均值就定义为

(1)

从而，可以应用定积分研究和计算连续函数的平均值，反之，也可利用函数平均值的相关性质研究定积分.

二、函数的算术平均值与积分中值定理

由积分性质：m(b-a)≤f(x)dx≤M(b-a)，

其中函数f(x)在区间[a，b]上连续，可得如下结论.

结论1 连续函数的平均值介于函数的最大值与最小值之间，即

因为函数f(x)在区间[a，b]上是连续的，根据连续函数的介值定理，在区间[a，b]上必定存在点ξ，使得即证明了积分中值定理.

定理1 (积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得f(x)dx=f(ξ)(b-a).

三、函数的加权平均值与广义的积分中值定理

在实际应用中，经常需要讨论如下式给出的n个量f1，f2，…，fn的“加权平均值”

(2)

其中gi是fi的对应权，称为“权因子”，可为任意正值.

例如，在计算以不同方式或不同条件观测同一物理量或其他量的均值时，常常会对不同可靠程度的数据赋予不同的“权”.若设g1，g2，…，gn分别是位于x轴上质点f1，f2，…，fn的重量，(2)式中的μ则表示重心的位置.

在(2)式中，如果所有的权因子gi都相等，则量μ恰好是前面定义的算术平均值，见(1)式.

类似地，可定义连续函数f(x)在区间[a，b]上的加权平均值为

(3)

其中g(x)≥0，也称g(x)为“权函数”.

结论2 连续函数的加权平均值介于函数的最大值与最小值之间，即

证明 由m≤f(x)≤M，两端乘g(x)，且g(x)≥0，得mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)，

两端积分，得

mg(x)dx≤f(x)g(x)dx≤Mg(x)dx，

所以有

于是

根据结论2和连续函数的介值定理，有其中ξ∈[a，b]，也就证明了广义的积分中值定理.

定理2 (广义的积分中值定理)如果函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上是连续的，且g(x)在[a，b]内不变号，则在区间[a，b]内至少存在一点ξ，使得

f(x)g(x)dx=f(ξ)g(x)dx.

对g(x)≤0的情形，证明略.当g(x)=1，就是定理1的结论，定理1是定理2的推广.

四、函数几何平均值的定义

类似地，当f(x)>0时，f(x)在[a，b]上的几何平均值可以如下定义.

记f(x)的n(有限)个函数值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)的几何平均值为

(4)

在(4)式两边取对数，得

于是，所以可以定义

事实上，函数平均值不仅可以在有限区间上研究，还可以推广到无限区间上以及推广到曲线、平面、曲面、空间等各个领域，其应用非常广泛.

【参考文献】

[1]R·柯郎，F·约翰.微积分和数学分析引论(第一卷第一分册)[M].北京：科学出版社，1979.

[2]赵奎奇.关于闭区间上连续函数的平均值注记[J].高等函授学报(自然科学版)，2010(1)：24.