西交《线性代数》拓展资源（三）

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西交《线性代数》拓展资源（三）
矩阵的应用
矩阵在各个领域都有广泛的应用, 用矩阵的初等行变换来求解一般的线性方程组，这本身就是矩阵的一个应用. 另外我们还可以用方阵的逆矩阵来求解方程组. 也可以用矩阵来解决调配问题、下料问题等. 还有就是数字图象措置惩罚、计较机图形学、计较几何学、人工智能、收集通讯、和一般的算法设计和阐发等．矩阵在不但并行应用中使通讯优化, 而且在航天中也有很多的应用．随着科学技术的发展，矩阵的应用已经深切到了天然科学，社会形态科学，工程技能，经济等各个范畴．如:
例1　图1为1，2，3，4四个城市之间的空运航线的有向图．      ①　　　　　　　④
②　　　　　　　③
图1　　
它可以用矩阵表示为
．
例2、 由网孔法设桥式电路中闭合回路的电流分别为
，如图2所示：


图2
已知
，计算流过中央支路
的电流
.
解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组：


即


同样计算如下几个行列式

        


      

所以         

从而，流过中央支路
的电流为
.
即电流是从
流向
的.
例3、（调配问题）设有三种酒甲乙丙，它们各含三种主要成分
的含量如下表：






甲酒
0.7
0.2
0.1

乙酒
0.6
0.2
0.2

丙酒
0.65
0.15
0.2

调酒师现要用这三种酒配置另一种酒，使其对
含量分别是：66.5%，18.5%，15%，问能否配出合乎要求的酒？比例分配如何？当甲酒缺货时，能否用含三种主要成分为
的丁酒替代？比例分配又如何？
解：设甲乙丙三种酒的比例分配为
，根据题意可得矩阵方程


其正数解即为所求.
可以得出     

所以   

   


即能用甲乙丙三种酒调配出合乎要求的酒来，其比例分配为甲酒50%，乙酒20%，丙酒30%.
若用丁酒来替换甲酒，则有矩阵方程：








有负数解，这说明不能用丁酒来替代甲酒.
例4、（密码问题）在军事通讯中，常将字符（信号）与数字对应，如


例如信息
对应一个矩阵
，但如果按这种方式传输，则很容易被敌人破译. 于是必须采取加密措施，即用一个约定的加密矩阵
乘以原信号
，传输信号为
（加密），收到信号的一方再将信号还原（破译）为
. 如果敌方不知道加密矩阵，则很难破译.设收到的信号为
，并已知加密矩阵为
，问原信号
是什么？
解：先求出







所以   



即原信号为
.
例5、（线性方程组问题）用逆矩阵解线性方程组
.
解：设方程组的系数矩阵为
，未知量矩阵为
，
常数项矩阵为
，
则线性方程组可以变为矩阵方程
，
矩阵
的逆矩阵为：


所以

故方程组的解为         

例6、（矩阵方程问题）设有矩阵求矩阵
，使得
．
解：在
均存在的情况下，用
左乘、
右乘
的两边
得                 

即                       

而


故



．
总之，矩阵的意义不仅在于将一些数据排成阵列形式，而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为理论研究和解决实际问题的有力工具．
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