西交《线性代数》faq（四）

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西交《线性代数》FAQ（四）
向量组与矩阵的秩
一、设有同维的向量组I:
,向量组II：
。向量组I线性相关时，
向量组II是否线性无关？又，向量组II线性相关时，向量组I是否线性相关？
答：都不一定。反例如下：设向量组I:
,
         向量组II：
，
，

；向量组I是线性相关的，但向量组II却是线性相关的；反过来也是一样。
二、设
，
的列向量组
，
，
是线性相关的，
的行向量
组
，
是否也线性相关？
答：不线性相关。因为
的列向量组
是三个2维向量，向量的个数大于维数，所以
的列向量组线性相关；但
的行向量组
只有两个向量，且对应分量不成比例，故
的行向量组
线性无关。
三、如果向量
能由向量组
线性表出，向量组
是否线性相关？
答：是。因为
能由
线性表出，故存在一组数
，使得


从而
，即有一组不全为零的数
，使得上式成立，故向量组
线性相关。
四、从矩阵
中划去一行得到矩阵
，
与
有何关系？
答：矩阵
是由矩阵
划去一行得到的。如果
，则
中有一个
阶子行列式不等于零，而所有
阶子行列式（如果存在的话）全为零。而
中不等于零的子行列式的阶数最多为
，也可能是
，因此
。
在秩为
的矩阵中，有没有等于零的
阶子式？有没有等于零的
阶子式？有没有不等于零的

阶子式？
答：在秩为
的矩阵中，可能存在等于零的
阶子式，也可能存在等于零的
阶子式。但根据矩阵
秩的定义，不会有不等于零的
阶子式。
例如，
，
，同时存在等于零的三阶子式和二阶子式，但没有不等于零的四阶子式。
六、如何求矩阵的秩？
答：求矩阵的秩的基本方法是初等变换法，即对矩阵A作初等变换，变为阶梯形矩阵B，B的非零行个数即为矩阵B，亦即矩阵A的秩。这里注意的是一定要真正变为行阶梯形矩阵。
七、设A为n阶方阵，若A的所有r阶子式全为0，是否必有|A|=0？
答：若r=n，显然有|A|=0：若r<n，则由行列式展开定理，A的所有r+1阶子式也都为0，由归纳法知，矩阵A的所有高于r阶的子式全0，从而A得唯一的n阶子式|A|=0.
八、典型例题
向量组的线性相关性的证明
（1）利用定义来证明相关性     （2）利用反证法来证明  
（3）利用向量个数与维数相等证明  （4）利用初等行变换证明
例1  已知
，
，
，证明
线性相关。
证 设有数
，使得

代入已知条件，得

整理得

要求上式成立，无论
是何向量（是否线性相关），只需前面的系数为零即可，即


解得
，
是任意常数，即
，故
线性相关。
例2  设向量组
线性相关，向量组
线性无关，问
能否由
线性表出？并证明之。
解：不能线性表出。用反证法证明
若设
能由
线性表出，则存在数
，使
成立，而
线
性相关，所以
可由
线性表出，将上式的
用
代替可得
线性相关，与题设产
生矛盾，故
不能由
线性表出。
例3  设向量组
，
，

（1）当
为何值时，向量组
线性无关？
（2）当
为何值时，向量组
线性相关？
解：方法1：利用向量个数与维数相同。因为
是三个3维向量，故由行列式


是否为零来判别
的线性相关性。
（1）当
即
时，向量组
线性无关
（2）当
即
时，向量组
线性相关
方法2 用初等行变换


（1）当
即
时，向量组
线性无关
（2）当
即
时，向量组
线性相关
矩阵的秩的求法
（1）直接用定义求出矩阵的非零子行列式，而非零子行列式的最高阶数就是矩阵的秩；
（2）利用初等变换将矩阵化为易于求秩的简单形式
例4  求下列矩阵的秩
            

解：利用初等变换来求解


              

因此
。
例5  
是
阶方阵
的伴随矩阵，证明


证：（1）当
时，
可逆（即满秩），有
，由
，两边取行列式，得

，有
。
根据矩阵可逆的充分必要条件知
可逆（即满秩），所以
。
（2）因为
，
的所有
阶子式全为零，即
中所有元素均为零，
，故

（3）当
时，则
中至少有一个
阶子式不等于零。 故
，因此
；
另一方面
，
中所有
阶子式为零，事实上
只有一个
阶子式
，所以

，又因为
，而
，故
。综上所述得

例6  设矩阵
，且
，求

解：因为
，而
为四阶矩阵，故
解得
或

当
时，有


因此
。
当
时，有


因此
。
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