西交《线性代数》faq（七）

网院作业

西交《线性代数》FAQ（七）
实对称矩阵的对角化
一、如何理解正交矩阵的“正交”两字？
答：这是因为矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的列（行）向量作成一个正交单位向量组。
二、实对称矩阵的特征值一定是实数，实对称矩阵一定能够对角化。那么特征值都是实数的矩阵是否一定能够对角化？
答：不一定。事实上，特征值全是实数并不能判断一个方阵能否对角化。例如矩阵
的特征值是1（2重），显然它不能与对角矩阵相似，否则它就与单位矩阵相似，但与单位矩阵
相似的只有单位矩阵本身，这是不可能的。
三、典型例题
例1  设
，试证：A为正交矩阵
证法一：欲证AAT=E
                 

所以A为正交矩阵。
证法二：欲证A的列向量组为标准正交向量组
A的列向量组
，
                                    






即A的列向量组为标准正交向量组，故A为正交矩阵
例2  设A、B为同阶正交矩阵，且|A|=(|B|。试证：|A+B|=0
证明  A、B为同阶正交矩阵，则AAT=E，BTB=E。
    A+B=AE+EB=ABTB+AATB=A(BT+AT)B =A(A+B)TB        (1)
将(1)式两边取行列式
          |A+B|=|A(A+B)TB|=|A||(A+B)T||B|=(|A+B|
所以     |A+B|=0
例3  用施密特正交化方法，把向量组
化成正交单位向量组
解  先正交化，得







再单位化，即得所求的正交单位向量组：


例4  设有实对称矩阵
，求一个正交矩阵P，使P-1AP成为对角矩阵。
解  先求A全部特征值，由特征方程
det((E(A)=

解得A的全部特征值为(1=(2，(2=4，(3=1。
对于特征值(1=(2，解方程组((2E(A)X=0，由(2E(A=

     
得它的一个基础解系为(1=(1, 2, 2)T把(1单位化，得属于(1=(2的单位特征向量

对于特征值(2=4，解方程组(4E(A)X=0由4E(A=

得它的一个基础解系为(2=(2, (2, 1)T把(2单位化，得属于(2=4的单位特征向量

对于特征值(3=1，解方程组(E(A)X=0，由E(A=

得它的一个基础解系为(3=(2, 1, (2)T把(3单位化，得属于(3=1的单位特征向量

由于(1=(2，(2=4，(3=1是实对称矩阵A的互不相同的特征值，即知对应的特征向量e1, e2, e3就是A的
正交化单位化的特征向量。令矩阵
              

P=[e1, e2, e3]=则P就是所求的正交矩阵，且有P -1AP=PTAP=
。
例5  设三阶实对称矩阵A的特征值为(1和1（二重），已知(=(0, 1, 1)T是属于(1的特征向量，求矩阵
A。
解：由于A是实对称矩阵，所以(=1和(=(1所 对应的特征向量正交。
设(=1时的特征向量为(=(x1, x2, x3)T，则((，()=0。即x2+x3=0。于是，得到(=1的特征向量

，

令P=((1,(2,()=
， 则

故A=


例6  设二阶矩阵
           A=
，  B=

（1）判断A，B是否相似。
（2）若相似，求可逆阵P，使B=P-1AP。
解：
得A的特征值为5，(1。
     |(E(B|=
得B的特征值为5，(1。
对于A，当(=5时，
            
        (5E(A)=
，得特征向量(1=(1, -3)T。
当(= (1时， ((E(A)=
，得特征向量(2=(1, 2)T。
令 M=
，则 M-1AM=
。
对于B，当(=5时， (5E(B)=
，得特征向量(1=(1, 1)T。
当(=(1时，((E(B)=
，得特征向量(2=((2, 1)T。
令 N=
，则 N-1BN=
，B=N
N-1 。
可见A~B。由此B=NM-1AMN-1 。
令P=MN-1 ，则B=P-1AP  。
经计算得N-1 =
，P=MN-1=
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