西交《高等数学（下）》faq（一）

作业辅导

西交《高等数学(下)》FAQ(一)
第八章多元函数微分学及其应用
一． 学习多元函数微分学应该注意什么？
答? 多元函数微分学是一元函数微分学的推广。多元函数微分学与一元函数微分学有密切联系，两者有很多类似之处，但特别应注意是，两者在概念、理论及计算方法上还有一些实质性的差异。从二元到二元以上的函数理论上以及研究方法上是类似的。因此，我们是以二元函数为代表对多元函数微分学进行研究。在学习本章时，一定要注意与一元函数相对照、类比，比较它们之间的异同，这样有助于学好多元函数微分学。
二．怎样领会和运用多元函数的依赖关系式？
答? 二元函数的 依赖 关系式“
”中的“
”表示函数与自变量
的对应关系。
??? 熟练且灵活运用函数依赖关系式是学习多元函数的基本要求。多元函数依赖关系式的运用与一元函数相仿，但要比一元函数依赖关系式的运用复杂些。
例如，设
求
的表达式。
由已知
，所以

，
从而得

。
三 、?何谓偏导数？怎样求偏导数？
答? 多元函数的偏导数，就是只有一个自变量变化（其它自变量看成是常数）时，函数的变化率。因此，求多元函数的偏导数就相当于求一元函数的导数。一元函数的导数公式和求导的四则运算法则对于求多元函数的偏导数完全适用。
??? 偏导数的求法：
????1°当二元函数为分段函数时，求在分段点或分段线上的点（
）处的偏导数时，要根据偏导数的定义来求。即


??? 2°求多元初等函数偏导数时，可将多元函数视为一元函数，即将不对其求偏导数的那些变量统统看成常量，利用一元函数的求导公式和求导法则求出偏导数。
值得指出，多元函数的偏导数记号与一元函数的导数记号不同。偏导数记号
、
是一个整体，不能分开。不能看成
与
之商，记号
与
本身没有意义。而一元函数的导数记号
，可看成两个微分
与
之商。?
四．
与
两者是怎样的关系？
答?
表示
在
点处对 x 的偏导数 .
表示
对x 的偏导数在
点处的值，两者关系是：


?求
在
点处的偏导数
时，如果
为
的分段点，则应按问题 3 中 1°所讲用偏导数定义来做，如果是求初等函数的
，一般可先求出
, 然后再求
在
点处的函数值。 也可先将
代入
，得
，再求
在
处的导数，即


用这种方法求函数
在
点的偏导数
，由于已先将
用数字代换，可能式子会简单不少，所以会方便些。
五．函数的全增量与全微分有何区别与联系？
答? 以二元函数为例说明之。函数
在点
的全增量
与全微分的表达式分别是
　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　

由上式可知，
是
与
的较为复杂的函数，计算较复杂；
是
与
的线性函数，计算较简单。
为
的高阶无穷小：


其中
，当
时

　　当
很小时，
。
六、? 全微分存在的充分的条件是什么？
答? 在什么条件下能保证
在点
可微呢？
教材§ 8.3 定理 8.4 给出了下述充分条件：
定理 8.4 设
在点
存在连续的偏导数

，则函数
??????????????
在点
可微。
即
在点
处偏导数连续，是函数
在点
可微的充分条件。
??? 反之，函数
在点
处可微，并不能推出
在点
的偏导数

连续。即

在点
连续不是
在点
可微的必要条件。
七．二元函数极值存在的必要条件是什么？
答? （1）如果函数
存在偏导数，则函数的极值点只能在使
的点中取得。即点
为函数
极值点的必要条件是　
使
同时成立的点
，称为函数
的驻点。 因此，可微函数的极值只能在驻点中得到，但驻点不一定是极值点。
??（2）函数的偏导数不存在的点，也可能是函数的极值点，例如，
在（0，0）点 偏导数
不存在，但点（0，0）是函数的极小值点。
综上所述，如果函数
有极值点，则该点或者是驻点或者是偏导数不存在的点。
八．怎样判断二元函数的驻点是否为极值点？
答　判断二元函数
的驻点
是不是极值点，可以用下面的充分条件加以判断。
设函数
在点
有连续的二阶偏导数，且　

记
则当
???? i）
时
是极值。
??????? 当
时，
为极大值，
为极大值点；
? ????? 当
时，
为极小值；
为极小值点。
???? ii）
时，
不是极值。
???? iii）
时，
不能确定是否为极值，此法失效。
九．怎样求多元函数的最大值与最小值？
答? 如果函数
在界闭区域 D 上连续，则在 D 内或 D 的边界上一定能取得最大值与最小值。函数的最大值与最小值，是由区域内的极值嫌疑点（如果偏导数存在，那么这些嫌疑点就是驻点）处的函数值与区域 D 边界上的函数最大、最小值比较来确定的，区域的 D 的边界一般都是由一条或几条曲线围成的。因此，求多元函数的最大值与最小值是很困难的。但是，如果是求实际问题中的最大、最小值，则简单得多。如果根据实际问题的意义，函数的最大值或最小值在域 D 的内部取得，且在 D 内函数只有一个驻点，则可以断定驻点处的函数值就是该函数的最大值或最小值。这样就大大简化了实际问题求函数的最大值或最小值的计算。
十．怎样求条件极值
答? 求函数
在条件
下的条件极值时，利用拉格朗日乘数法得到只是条件极值的必要条件，即解方程组


得
及
，其中
就是可能极值点的坐标。至于如何判定所求得的可能极值点，是否为极值点，已超出本书的范转，在实际问题中，通常可根据问题本身的性质来判定。 利用拉格朗日乘数法，求条件极值时，可推广到自变量多于两个的函数及约束条件多于一个的函数的情形。
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