西交《高等数学（上）》faq（一）

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西交《高等数学（上）》FAQ（一）
第一章 函数极限与连续性
一、函数定义的两个要素是什么？
“如果自变量 x 在允许范围 X 内任取一个数值时，变量 y 是按一定的规则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，常记为
. ”我们称之为函数的“依赖关系”定义。这个定义的关键特征为：
　　—— x 的允许范围，即函数的定义域；
　　——对应规则，即函数的依赖关系 .
　　可以说函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则。
　　只有当两个函数的定义域与对应规则完全相同时，才能认为它们是同一函数。
　　读者仔细分析教材就可以发现，“对应规则”是本章的一条知识线，它串起了许多概念。由于函数的定义中并没有限制“对应规则”与 y的取值特点，因此可能出现：
　　（1）当自变量 x 的值变动时，变量 y 的取值并不一定随 x 的变化而变化， y 可能总取一值。
　　　　如 y = 3 表示不论 x 取什么值，所对应的 y 的值总是 3 ，因此它符合函数的定义，可以说 y = 3 是函数。通常称 y = c 为常量函数。
　　（2）函数对应规则的形式没有限制。
　　　　① 如果函数对应规则是解析表达式
，可称函数为显式形式。
　　　　② 如果函数对应规则是方程
，可称 y为 x的隐函数。
　　　　③ 如果函数对应规则在自变量的不同范围是由几个不同的解析表达式而表示的，例如
　　　　　　

　　　　　 则称
为分段函数。注意这里不可以说
是三个函数，应该说
是定义域为
的一个函数，在不同的范围它是由三个不同解析表达式来表达而已。
　　　　④ 如果对应规则是由表格或图形表示出来，那么常称这种表示为函数的表格法或图形表示法。
　　　　⑤ 如果 x 与 y 通过第三个变量 t 而联系起来，如
　　　　　　

　　　　　　则称这种函数关系为参数方程表示的函数 .
二、研究函数的单调性、有界性能否离开自变量的范围？
不能。如
当
时为单调减少函数；当
时为单调增加函数；在（-1，1）内为非单调函数。
　　同样，
在（0，1）内有界函数，在
内为无界函数。
　　如果说函数
为单调函数或有界函数，而没有指明其范围，通常要理解为是在其定义域内而言。
　　一般初等函数的有界性与单调性常用函数的导数来判定（留待第四章介绍）。本章只限于利用定义讨论一些简单情形。
三、如何理解分段函数？
   分段函数是在定义域内不同范围用不同表达式表示函数对应法则的一类函数.分段函数是用几个公式联合起来表示一个函数，而不是表示几个函数，在实际应用中常常用到这种表示形式.求分段函数的函数值必须看自变量
落在哪个区间，就采用那个区间的表达式.
四、如何求函数的反函数？
   由函数y=f(x)求出
，再将x与y互换得

五、六类基本初等函数分别是什么?
　  1.常量函数：

　　2.幂函数：?
（
为任何实数）
　　3.指数函数：
? （?
，
）
　　4.对数函数：
? （?
，
）
5.三角函数：
，
，
，
，　
，

6.反三角函数：
，
，
，
，
，

六、在什么情况下要考虑函数在一点的左右极限？
左极限与右极限是考察自变量 x 从某一确定方向趋于
时，函数的变化趋势。
　　研究函数
在自变量趋于其定义区间
端点时的极限只考虑单侧极限；研究分段函数在分段点处的极限时必须考虑左、右极限是否存在且相等。
　　有必要指出：
　　（1）
的充分必要条件为
.
　　（2）即使
与
都存在，也不能保证两者相等，即
也不一定存在，例如
　　　　

　　　
，所以
不存在 .
七、无穷小是否是绝对值很小的数？
无穷小在高等数学中占有极为重要的地位，必须注意：“无穷小”字面上似乎是讨论量的大小，有些初学者常把它与很小很小的数等同。这实际是一种误解。由无穷小的定义可以得知，无穷小是表达在某个变化过程中函数
的变化趋势为 |
| 无限地变小。如果
，则称
在
时为无穷小，所以无穷小并不是表达量的数值的大小。
由于
，所以零作为常数函数
在自变量的任何变化过程中都是无穷小 。因此可以说： 0 是无穷小中的唯一的数。而其它任何绝对值很小很小的数，都不是无穷小量，必须将无穷小量与绝对值很小很小的数区分开来，不可混为一谈。
　　相仿，无穷大也是描述函数在某变化过程中的变化趋势，不可将其与绝对值很大很大的数混为一谈。
八、“无穷大的倒数为无穷小”，能说“无穷小的倒数为无穷大”吗？
不能
　　这是因为数零也是无穷小量，而零没有倒数，正确的说法是：
　　若
为无穷小，且
，则
为无穷大 .
九、两个重要极限公式的结构形式有何特点？

，
　　

　　
.
　　其中
可以是满足条件
或
的任何函数。
如
　
等。
十、怎么理解
在点
处连续性的几个定义？
与极限的概念相仿，连续性也是描述在给定过程中函数的变化趋势。
　　函数
在点
处连续性的三种定义是等价的。它们的前提条件都是设
在点
的某邻域内有定义。其中：
　　（1）若
，则称
在点
处连续，意味着当自变量的增量
为无穷小时，函数的增量
也为无穷小，常称这个定义为连续性的无穷小形式定义。
　　（2）若
，见则称
在点
处连续 . 这意味着当
时，
以
为极限 . 常称这种定义为连续性的极限形式定义。
（3）对任意给定的
，存在
，当
时，总有
，则称
在点
处连续。
　常称这种定义为连续性的“
”形式定义。
　　　　 无穷小形式的定义形象地描述了连续性的特性。
　　　　 极限形式的定义把连续性与极限联系起来了。
　　　　 “
”形式的定义把连续性概念算术化，便于分析论证。
三种定义形式不同，但本质相同，这三种形式的定义有共同特性，构成了连续性的三个要素
　　　　1 °函数
在点
处有定义；
  2 °当
时，函数
存在极限；
  3 °极限值等于该点处函数值
。
十一、从形式及本质来看，连续性与极限的“
”定义有何差异？
首先注意，极限的“
”定义只提示了极限概念的本质，并没有提供求极限的方法，但是，连续性的定义不仅提示了连续性的本质，而且提供了判定连续性的方法。因此可以说，连续性的定义是具有双重意义的定义。
其次，两者定义的形式不同。在极限的定义中，
在点
处有无定义无关重要，考察
当
时的极限问题并不考虑
在点
的情形，因此，定义中描述自变量的变化用“
”。而在连续性的定义中，说
在点
处连续，当然必须要求
在点
有定义，且当
时，


当然成立。
因此，连续性的“
”定义中，不使用
，而使用
。
十二、基本初等函数连续性与初等函数连续性的提法有何差异？
基本初等函数在其定义域内为连续函数。
　　初等函数在其定义区间上为连续函数。
　　应该注意，基本初等函数的定义域都是区间或区间之并，而初等函数的定义域可能是一些孤立点集。如
的定义域为
为孤立点。　　因此
不连续，但是它是初等函数。本内容由易百网整理发布
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