西交《高等数学(专升本)》拓展资源（六）

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西交《高等数学(专升本)》拓展资源（六）
　例题1　设
为连续函数，
，求
.  
解析　
是一个常数，记为 A ，于是　
.
　　　将上式两边从 0 到 1 作定积分，有　
，
　　　即
。
　　　所以
，即
。
例题2　计算下列定积分：（1）
；　 （2）
。
解析　（1）将被积函数作恒等变形：　

　　　　　 因为
在区间 [1，2] 上连续，且
是
的一个原函数，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，有
　　　　　原式

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　（2）函数
在区间
上连续，且
是
的一个原函数，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，有
　　　　　　原式

例题3　计算下列定积分：
　　　　（1）
； 　　（2）
；
　　　　（3）
； 　　（4）

解析　（1）用凑微分法，有
　　　　　　原式

　　　　　　　　　=
.
　　　（2）被积函数较为复杂，可考虑用换元法，但要注意积分上、下限也要作相应的变换。
　　　　　 令
，则
当
时，
；当
时，
。于是有
　　　　　　原式

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　（3）用第二换元法，令
，则
当
时
；
　　　　　 当
时，
。于是有
　　　　　　原式

　　　　　　　　

　　　（4）用三角换元，可令
，则
当
时，
；
　　　　　 当
时，
于是有
　　　　　　原式

　　　　　　　　

　　　　　　　　 =

　　　　　　　　

例题4　
，
，试比较 M ， N ， P 的大小。
解析　M 中的被积函数是个奇函数，积分区间为关于原点的对称区间，由奇函数的积分性质知，
。 而由对称性，有
　　　

　　　

　　　所以其大小关系为
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