西交《高等数学(专升本)》faq（一）

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西交《高等数学(专升本)》FAQ（一）
一、函数定义的两个要素是什么？
“如果自变量 x 在允许范围 X 内任取一个数值时，变量 y 是按一定的规则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，常记为
. ”我们称之为函数的“依赖关系”定义。这个定义的关键特征为：
　　—— x 的允许范围，即函数的定义域；
　　——对应规则，即函数的依赖关系 .
　　可以说函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则。
　　只有当两个函数的定义域与对应规则完全相同时，才能认为它们是同一函数。
　　读者仔细分析教材就可以发现，“对应规则”是本章的一条知识线，它串起了许多概念。由于函数的定义中并没有限制“对应规则”与 y的取值特点，因此可能出现：
　　（1）当自变量 x 的值变动时，变量 y 的取值并不一定随 x 的变化而变化， y 可能总取一值。
　　　　如 y = 3 表示不论 x 取什么值，所对应的 y 的值总是 3 ，因此它符合函数的定义，可以说 y = 3 是函数。通常称 y = c 为常量函数。
　　（2）函数对应规则的形式没有限制。
　　　　① 如果函数对应规则是解析表达式
，可称函数为显式形式。
　　　　② 如果函数对应规则是方程
，可称 y为 x的隐函数。
　　　　③ 如果函数对应规则在自变量的不同范围是由几个不同的解析表达式而表示的，例如
　　　　　　

　　　　　 则称
为分段函数。注意这里不可以说
是三个函数，应该说
是定义域为
的一个函数，在不同的范围它是由三个不同解析表达式来表达而已。
　　　　④ 如果对应规则是由表格或图形表示出来，那么常称这种表示为函数的表格法或图形表示法。
　　　　⑤ 如果 x 与 y 通过第三个变量 t 而联系起来，如
　　　　　　

　　　　　　则称这种函数关系为参数方程表示的函数 .
二、研究函数的单调性、有界性能否离开自变量的范围？
不能。如
当
时为单调减少函数；当
时为单调增加函数；在（-1，1）内为非单调函数。
　　同样，
在（0，1）内有界函数，在
内为无界函数。
　　如果说函数
为单调函数或有界函数，而没有指明其范围，通常要理解为是在其定义域内而言。
　　一般初等函数的有界性与单调性常用函数的导数来判定（留待第四章介绍）。本章只限于利用定义讨论一些简单情形。
三、如何理解分段函数？
   分段函数是在定义域内不同范围用不同表达式表示函数对应法则的一类函数.分段函数是用几个公式联合起来表示一个函数，而不是表示几个函数，在实际应用中常常用到这种表示形式.求分段函数的函数值必须看自变量
落在哪个区间，就采用那个区间的表达式.
四、如何求函数的反函数？
   由函数y=f(x)求出
，再将x与y互换得

五、六类基本初等函数分别是什么?
　  1.常量函数：

　　2.幂函数：?
（
为任何实数）
　　3.指数函数：
? （?
，
）
　　4.对数函数：
? （?
，
）
5.三角函数：
，
，
，
，　
，

6.反三角函数：
，
，
，
，
，
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