吉大《高等数学（文专）》faq（六）

奥鹏作业答案

吉大《高等数学（文专）》FAQ（六）
一、定积分
的几何意义是什么？  
定积分
在几何上表示曲线
，直线
与
轴所围成的图形面积的代数和。即将
轴上方的值取为正的，
轴下方的值取为负的，
的值是这些正、负相抵消以后的结果 . 如果要求曲线
直线
与
轴所围成的图形的面积，则应该是
。
二、关于广义积分应该注意些什么？
两种广义积分，其中无限区间的广义积分是容易识别的，只要看一看积分的上、下限中至少有一个∞，就知道它是无限区间的广义积分。若是无限区间的广义积分，就要按如下的定义去做：
　　　　　

　　　　　

　　特别是上述第 3 式，如果右边两个积分中至少有一个不存在，则广义积分
就不存在。例如，按定义，
　　　　　　
，
而右边第一个积分
　　　　　　

　　　　　　　　　　　　=

　　就可断言原广义积分发散 . 在此，切勿去用“奇连续函数在关于原点对称区间上的定积分必为零”的结论。因为考虑
时，按定义应先将它分成

　　关于无界函数的广义积分从外形上却不易识别，特别是使函数成为无界的那个点位于积分区间内部时从外形上不易识别，为此，应注意通常使函数成为无界的点，它们是：
　　（1）分母为零的点；
　　（2）对数
中使
为零的点，等等。
　　如果漏看了这种点，将广义积分当作普通定积分来做，就要出错。例如，若将广义积分　　
当作普通定积分就错成　
；
或者只考虑到
是奇函数，而没有注意到它是无界，乱用连续的奇函数在关于原点的对称区间上积分为零的结论而造成错误。正确的做法应按定义去做：
　　
，
而前者　

　　　　　　　　　　=
，
　　有些积分，既是无限区间又是无界函数的广义积分，那么可以把积分区间分成若干个，使每一个为一种类型的广义积分。例如，对于
应分成
　　　　　　

三、定积分具有哪些基本性质？
性质1   


.
性质2   
   (
为常数).
性质3   假设
，


补充：不论a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
性质4



性质5 如果在区间
上
，则
.

性质5的推论：
（1）如果在区间
上
，则

.   

（2）

.

性质6设
及
分别是函数
在区间
上的最大值及最小值，则
.
性质7（定积分中值定理）
如果函数
在闭区间
上连续，则在积分区间
上至少存在一个点
，使

.   

四、积分上限函数的性质是什么？
定理１ 如果
在
上连续，则积分上限的函数
在
上具有导数，且它的导数是
   

补充：如果
连续，
、
可导，则
的导数
为



五、牛顿—莱布尼茨公式揭示了什么？
定理 3（微积分基本公式）
如果
是连续函数
在区间
上的一个原函数，则

微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间
上的定积分等于它的任意一个原函数在区间
上的增量.
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