高等数学课程中难点内容教学策略
高等数学课程中难点内容教学策略——以微积分为例◎曹剑成(徐州幼儿师范高等专科学校，江苏 徐州 221004)【摘要】在迈入大学后，不少专业的学生都要开始学习高等数学这门基础课程.高等数学是大学时期很重要的一门课程，能训练学生的数学思维，帮助学生掌握更多的数学方法，提升学生的数学能力，并且高等数学也是不少专业考研的一门主要学科，对学生未来发展至关重要.本文主要以微积分为例，探讨高等数学中难点内容的主要教学策略.【关键词】高等数学；难点内容；教学策略；微积分高等数学是高等院校的一门公共基础课程，对之后专业课学习有非常重要的价值.在大学扩招的背景下，高考录取分数降低，学生的基础不同.对不少大学生来说，高等数学都是一个难题，尤其是微积分难倒了很多人.为此，教师在讲授高等数学时，要介绍一些有效的学习方法，确保学生在课程学习中对高等数学概念有透彻的理解.一、高等数学和微积分的主要教学内容和特点初等数学的主要研究对象是不变的量，高等数学主要研究变动的量.在高等数学的教学中，微积分主要是研究积分学和微分学的一门学科，或叫作分析学.其中微分学的学习内容主要是计算求导和微分，解决曲线斜率、加速度和函数问题.而积分学主要有不定积分与定积分，用于定义和计算面积和体积等问题.高等数学的微积分中，需要深入探讨学习微积分学.微积分理论早期主要在天文学、力学和几何学等方面应用，之后以极限理论为基础，借助无穷小或无穷大的极限值解决计算问题，是微积分的重要基础.高等数学微积分中的难点内容主要是：(1)一元函数求极值.求一元函数的极限值是高等数学的一个重要知识点，也是一个学习难点.通常求一元函数的极限值的方法有三种——洛必达法则、无穷小量和重要极限定理.一般来说，高等数学的教材会依照正常的逻辑思维顺序设置求解程序，不过在求解一元函数的极限值时，总体概念的性质是多重的，并且不同概念间的关联比较分散，若学生解决问题时只采用教材方法，很容易出现方向性的错误.(2)部分积分法.不定积分中部分积分法在教学中的问题就是引导学生选择计算公式中的u，v，教材中未指明其内在规律，造成学生要花费很多时间.(3)被积函数、积分区间和积分变量.二、以微积分为例分析高等数学难点内容的教学策略(一)重视应用和训练数学符号和数学语言所有数学课程都属于特殊符号系统，有对应符号和语言，微积分也是如此.使用好数学符号与数学语言对提高学生的数学素质极为重要.(1)熟练应用数学符号和数学语言，能表达操作性数学方法和深刻数学思想.比如，微积分基础公式是http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/6bc0139728198163ae812e2f78808354.jpgf(x)dx=F(b)-F(a)，这个基础公式说明，在范围内一个连续性函数的定积分和其任意原函数在的改变量相等.这一方面，揭示出定积分和被积函数原函数的关系；另一方面，也提供了计算定积分的有效方法.(2)数学符号和数学语言的熟练应用，不但有助于学生理解数学定理和概念的内涵，也决定学生能不能将课后作业顺利完成.比如，不定积分中的换元积分法，若仅仅依据教材进行讲解，不少学生都理解不了，更加无法将换元积分法应用到解决实际问题中.可以依照换元积分法的法则，制订一个使用数学语言进行表达的清晰化计算程序：第一种类型的换元积分法：http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/b0310633f10fb9a455b6fdd5a84a8ed1.jpg
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第二种类型的换元积分法：http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/9b1a73c076c9c24aacc816d98c4b0ba1.jpg
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(二)在高等数学教学中应用数形结合数形结合是将准确刻画数量关系和直观描述的几何图形有机结合，以揭示出问题条件和条件、条件和结论的内在关系.数形结合思想能使一些抽象数学问题更加生动化和直观化，将抽象思维变成形象思维，对数学问题本质有更好的把握.此外，应用数形结合能大大降低问题的难度.培养学生应用数形结合的思想，做到见数想图、心中有图，从而拓宽学生的思维视野，提升学生分析和处理问题的能力.比如，假设有一个曲顶柱体，其顶是双曲线的抛物面z=xy，底是xy坐标，侧是平面x=0，内侧是x2+y2=1的柱面，外侧是x2+y2=2x的柱面，求该柱体体积.从题设中可以知道，xOy平面中曲顶柱体的投影是积分域D(如图所示)，从D区的形状可以发现在对曲顶柱体的体积进行计算时，应用极坐标比较方便.http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/1310c5f71e7821f1fe3aa8acd23f381e.jpgxOy平面
http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/96ef18cce1a3d8d1edcba565d4b99972.jpg
曲线L1：ρ=2cosθ，曲线L2：ρ=1，联立这两个公式可以求得θ为http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/c5ba27849acf9361aa467ba64e1eadac.jpg所以http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/15724ddac90a0221bb0e8691f828f5a0.jpghttp://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/1a957a4d485fc541faa0935970a76ef8.jpg
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微积分中，不少问题都要借助图形来解决.通常情况下，只用语言来分析和解答问题往往让人理不出头绪，若和其几何意义相结合，绘制出几何图形，利用直观形象的图形能更快地将问题解决.(三)适时呈现各个知识模块之间的联系高等数学微积分有较多的知识模块，因受限于编排体系，不少重要概念的关系只呈现为单向的，而没有充分体现出逆向联系.在教学中，教师需要适当呈现产生概念的实际背景，不同概念之间的区别和联系，把知识点变成网络状，用点带面，实现不同概念之间的融会贯通.在教授一个新概念的时候，可以对以往学过的多个概念进行复习；在教授一个新定理的时候，可以对多个定理进行复习.比如，在介绍上限积分函数Φ(x)=http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/48e16082e475ba969423c391ea433f95.jpgf(t)dt的时候，着重“函数”这两个字.上限积分函数是函数，就需要对导数、连续、微分和极限等加以讨论，联系上限积分函数和微积分的一些重要概念.教师可以让学生讨论Φ(x)=http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/48e16082e475ba969423c391ea433f95.jpgf(t)dt的可导性和连续性，并提出以下问题：① 在什么情况下Φ(x)=http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/48e16082e475ba969423c391ea433f95.jpgf(t)dt是连续的？② 在什么情况下Φ(x)=http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/48e16082e475ba969423c391ea433f95.jpgf(t)dt存在导数？其导数Φ′(x)和被积函数的关系如何？通过这些讨论，不少学生都可以得到正确结论.之后，教师沿着学生讨论的思路概括总结定理：假如f(x)在内处于连续状态，那么：① Φ(x)=http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/48e16082e475ba969423c391ea433f95.jpgf(t)dt在范围内是连续的；② Φ(x)=http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/48e16082e475ba969423c391ea433f95.jpgf(t)dt在(a，b)范围内可导，则Φ′(x)=f(X).同时说明这条定理，一方面，回答了“什么函数有原函数”这一问题；另一方面，也呈现了上限积分函数如何求变导数的有效方法.(四)重视概念之间的联想训练在高等数学教学中，一些教师会让学生对一个概念进行联想，从而深入理解这个概念.要想明白这个概念和其他概念的区别和联系，要更加灵活地应用概念，从而根本上解决习题中出现的问题.例如，在学习函数的极限这一知识时，可以联想到以下知识点：http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/cf508801b8e844518da79186561d7826.jpg⟺http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/e17e7103a1667f06f7ae1169144872ec.jpghttp://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/467c37e383cf4c04921efcf14425a028.jpg⟺f(x)在x0位置连续；http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/86b94aa5b08d179542ba0eae3f8f9cc3.jpg⟺f(x)在x0位置可导，并且f′(x0)=A等等.(五)重视总结教学方法在高等数学中，微积分会涉及较多计算，应该熟练掌握一些计算.为此，在教学过程中，教师侧重讲解这些计算，引导学生熟练掌握计算方法和计算原则.比如，不定积分中的分部积分法，假如只依照教材讲解，教材中这一部分往往只呈现几个比较简单的例题，学生只能学习到简单的计算方法，而不知道为什么这样计算.所以，教师在讲解定积分中的分部积分法时，借助例题让学生总结计算原则，怎样选择v，u，把http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/7a434b89d22f49d340021acece142ce7.jpg这种不易积分的，利用公式http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/4edb9b9526054a42d0ded56e6530d02e.jpg转变为求积分http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/71260f58d826de035f7d5f0a9f636785.jpg主要计算原则是：其一，v应该比较容易求出；其二，转变为积分http://rtt.5read.com/pdgpath/format?f=eb889fe2e784bcf7acc67bb58753e323/7afa0256eb1e73396815814803f393b2.jpg之后也比较容易求，也就是直接应用导数运算法则、基本求导公式就能够求出.主要计算方法是：其一，假如被积函数属于多项式乘指数函数，那么选u就是多项式；其二，假如被积函数是多项式乘弦函数(包括正弦和余弦)，那么选u就是多项式；其三，假如被积函数是指数函数乘弦函数，那么选u可以是弦函数也可以是指数函数，不过需要遵循一致性原则；其四，假如被积函数是多项式乘反函数(比如，arccotx，arctanx，arccosx，arcsinx，lnx等)，那么选u就是反函数；其五，假如被积函数包含有arccotf(x)，arctanf(x)，arccosf(x)，arcsinf(x)，lnf(x)等时，选u和lnf(x)相等.如此一来，学生对一些积分公式就比较容易理解，同时也能使用公式解决实际问题.三、结 语对高校学生来说，高等数学是一门必须学习的课程且难度系数较高.教师要结合学生的学习现状，针对难点内容采取有效的教学策略，以提升学生掌握高等数学的水平.在微积分教学中，可以采取的教学策略是加强训练和应用数学符号和数学语言，重视应用数形结合思想，呈现不同知识模块之间的关联，并对一些概念进行联想训练，重视总结教学方法.另外，教师在教学中要适当增加一些幽默元素，让学生能积极面对数学课，获得较好的学习效果.【参考文献】段玉，王敬童.高等数学课程中若干难点的教学策略——以微积分为例.当代教育理论与实践，2014(6)：61-63.刘彩霞，冯广庆.大学新生高等数学教学方法探索——以“数列的极限”为例.产业与科技论坛，2016(5)：189-190.王秋宝，王凡梅.微积分基本定理的教学探索.学周刊，2014(3)：30-30.张春晖.高等数学微积分教学的策略探讨.鄂州大学学报，2015(2)：95-97.张敬，周莉，田巍.有效提高高等数学课堂教学质量的探索.理论观察，2015(10)：161-162.
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