17春福师《实变函数》在线作业一答案奥鹏100
福师《实变函数》在线作业一试卷总分100得分0
一、 判断题 (共 37 道试题共 74 分)
1.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
2.存在上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
B. 正确
满分：2分
3.若曲线L由参数方程x=f(t)y=g(t)z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于fhg∈BV.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
4.f可积的必要条件f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma有限测度。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
5.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A. 错误
B. 正确
满分：2分
6.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
7.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
8.若f∈Lip则f∈AC.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
9.若fg∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
10.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.n=12…则f<=ga.e.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
11.函数f≡C∈[∞∞]则f可测。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
12.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
13.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
14.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
15.f在上为增函数，则f(x)在上积分值∫fdx≤f(b)f(a) .
A. 错误
B. 正确
满分：2分
16.当f在上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
17.fg∈M(X)则fg∈M(X).
A. 错误
B. 正确
满分：2分
18.若f∈L1则几乎所有的x属于均是g的L点.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
19.函数f在上为常数的充要条件是f在上绝对连续且在上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
20.若|A|=|B||C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
21.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
22.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
23.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
24.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
25.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A. 错误
B. 正确
满分：2分
26.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n>+∞} n·M=0.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
27.f可积的充要条件是f+和f都可积.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
28.增函数f在上几乎处处可微。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
29.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
30.可积的充分条件若存在g∈L1使得|f|<=g.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
31.若fg是增函数，则f+gfgfg也是增函数。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
32.利用积分的sigma可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
33.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
34.若对任意有理数rX(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
35.f∈BV，则f有“标准分解式”f(x)=f(a)+p(x)n(x)其中p(x)n(x)分别为f的正变差和负变差.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
36.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
37.可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
二、 单选题 (共 5 道试题共 10 分)
1.设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinxV0x(g)是上的
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
满分：2分
2.fn∈L(E)则fn>0a.e.是∫Efndx>0（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
满分：2分
3.下列关系式中不成立的是（ ）
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
满分：2分
4.有限个可数集的乘积集是（ ）
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
满分：2分
5.开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
B. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
满分：2分
三、 多选题 (共 8 道试题共 16 分)
1.若f∈BV，则（ ）
A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
满分：2分
2.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A. f^1(f（A）)=A
B. f^1(f（A）)包含A
C. f(f^1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
满分：2分
3.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A. f+g不可测
B. fg不可测
C. g^2可测
D. |g|可测
满分：2分
4.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A. f可测
B. |f|可积
C. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
满分：2分
5.设f为上增函数，则f为（ ）
A. 几乎处处可微
B. L可积
C. f可积
D. 区间上积分值∫f(x)dx=f(b)f(a)
满分：2分
6.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
D. f不是可测函数
满分：2分
7.设f为上减函数，则f为（ ）
A. 有界函数
B. 可测函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
满分：2分
8.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
满分：2分
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