资产定价异象的泛函主成分研究
资产定价异象的泛函主成分研究*李 博 刘振亚
[提 要] 本文采用泛函主成分法研究我国A股市场中的五种资产定价异象。与传统方法相比，该方法能够分别提取特征变量与期望收益率之间的单调和非单调性关系进行研究。实证结果显示按照资产定价异象指标排序的收益率面板数据包含三个关键成分：第一个主成分代表时序市场因子在横截面上的扩展，与异象效应无关；第二个主成分代表异象的横截面“单调”效应，价值和动量异象的稳健性较差；第三个主成分代表异象的横截面“凸性”效应，与投资者交易行为引起的“分置效应”有关。
[关键词] 异象；资产定价；风险因子；泛函主成分分析
一、概述
现代金融研究普遍采用多因子资产定价模型来解释资产的超额收益，比较知名的多因子资产定价模型包括Fama & French(1992；2015)的三因子和五因子模型，Carhart(1997)的四因子模型，Hou et al.(2015；2019)的q因子和q5因子模型，以及Barillas & Shanken(2018)六因子模型等。Fama & French(2020)六因子模型又纳入了Jegadeesh & Titman(1993)的动量因子，并根据现金流修正了盈利因子。整体上看，目前最受学界认可，被大部分资产定价模型采纳的风险因子分别是市场、规模、价值、盈利、投资和动量。
就中国A股市场而言，吴世农和许年行(2004)、潘莉和徐建国(2011)、田利辉等(2014)、赵胜民等(2016)以及李志冰等(2017)利用不同区间的数据对资产定价模型在中国A股市场的适用性进行了讨论。学者们普遍对于规模和价值因子比较认可，而对于盈利能力因子、投资水平因子，尤其是动量因子的争论比较多。周琳杰(2002)认为形成期和持有期非常短的动量对冲组合才能盈利；徐信忠和郑纯毅(2006)同样认为A股的动量效应发生在1个月～6个月的短期，且收益低于欧美市场；鲁臻和邹恒甫(2007)在Hong & Stein(1999)模型基础上通过实证得出中国股市动量效应不明显的结论；刘博和皮天雷(2007)认为在中国A股市场基本不存在动量现象，而存在显著的反转现象；潘莉和徐建国(2011)发现A股在多个时间频率上存在明显的反转效应，而动量效应仅在超短期的日频率和特定的周频率上存在；高秋明等(2014)认为A股市场不存在显著的月度动量效应；田利辉等(2014)认为中国A股不存在动量效应，只存在反转效应；宋光辉等(2017)利用股票价格残差验证了A股存在动量效应；Hsu et al.(2018)认为传统的中期动量效应在A股不存在，而短期的反转效应则能够产生显著收益。
风险因子来源于资产定价异象，即股票收益率中无法被资本资产定价模型(CAPM)解释的那一部分变化规律。识别异象的经典方法主要包括投资组合排序法和横截面回归法，它们都有自己的优缺点，也互为补充，是目前大部分研究所采用的标准方法。以上两种方法在长达40年的时间里占据着异象研究领域的重要位置，学者们利用这两种标准方法发现了400多种异象，被形象地称为“因子动物园”。面对大量的股票市场异象，Cochrane(2011)对学术界过度的数据挖掘提出质疑：“哪些特征确实提供了有关平均收益的独立信息？”此后，实证研究就出现了一批关于异象稳健性的研究。McLean & Pontiff(2015)发现异象的幅度(极端分组收益率之差)在论文发表后普遍下降了2/3；Harvey et al.(2016)和Harvey(2017)指出学者们在做异象研究的时候存在过度的数据挖掘，他们在论文中会只选择t统计量大于1.96的样本期进行报告；Hou et al.(2019)构造了历史上提出的452种横截面异象，并将数据扩展到2016年底，发现这452种异象中的65%不能达到t值大于1.96的标准，82%不能达到t值高于2.78的标准，而且即使能够达标的异象，其幅度也比原文献中给出的要小了很多，他们由此得出了市场远比想象中更有效的结论。
以上研究成果所发现的异象稳健性问题一方面是由于样本和市场结构的变化所引起的，另一方面也是由于传统实证研究方法的特点引起。为了弥补传统异象研究方法的不足，Boubaker et al.(2021)提出了一种基于泛函数据分析(Functional Data Analysis，FDA)的方法对美国市场中的定价异象进行了研究，该方法提供了新的非参数异象识别方法，能够同时揭示资产收益在时间序列和横截面上的变化规律细节。受此启发，本文采用FDA和拔靴法结合的方法对中国A股市场中的五种定价异象进行泛函主成分研究，分析由不同指标引起的期望收益率在时间序列和横截面上的多种变化模式，揭示A股市场中资产定价异象的变化规律，为深刻认识证券市场的运行状态和预测风险提供新的证据支持。
二、研究方法
异象研究的目标是验证某项特征变量与期望收益率之间的关系，一般采用实证研究方法。传统的实证方法分为投资组合排序法和横截面回归法，都是研究资产的特征指标与期望收益率在横截面上的线性关系。本文采用的泛函主成分法既可以研究线性关系，也可以研究非线性关系，并且能够更好地剔除市场风险和噪音对研究结果的影响。
本部分介绍泛函主成分法的具体细节并在横截面上对比上述三种方法的异同。泛函主成分法主要分为数据平滑和分解两个部分，数据平滑部分对排序后的资产横截面收益率变化进行非线性拟合，数据分解部分提取重要的收益率变化模式。
(一)数据平滑
令ri,t代表第t期时排序在第i个位置上的资产超额收益率，则{ri,t,1≤i≤N,i∈width=1,height=1,dpi=110}代表第t期全市场超额收益率的横截面数据，这是一个离散的数据集合。根据Karhunen-Loève定理可以将它转换为曲线rt(u)，0≤u≤1，u∈width=1,height=1,dpi=110：
width=700,height=41,dpi=110
式中，ψm(u)是上的标准正交基函数。常见的基函数包括傅里叶基函数和B-spline基函数，前者常用于周期性数据的平滑，而后者常用于非周期性数据的平滑。式(1)中的M值取决于拟合特征和噪音的精度之间的权衡，如果M取值较小则平滑程度会降低，在平抑噪音的同时也会损失掉一些有用的特征，M取值较大则平滑度会升高，但是可能会造成过度拟合，计算量也会更大。Ramsay & Silverman(2006)指出可以采用岭回归(ridge regression)方法，将rt(u)的四次微分作为惩罚项来调整曲线的平滑程度，即：
width=225,height=41,dpi=110
width=134,height=32,dpi=110
(2)
式中，D是1阶微分算子。通过求解式(2)获得{ri,t}的函数型拟合值width=46,height=17,dpi=110其中，λ∈[0,+∞)是调节变量，λ取值越小平滑度越差，保留的信息越多。当ψm(ui)为线性函数且λ=0时，横截面上的FDA拟合等价于横截面回归。
图1在横截面上对比了三种实证方法，其中空心圆点代表单个资产，横坐标是资产按第t-1期的异象指标排序后的百分位，纵坐标是第t期超额收益率，五角星代表十等分投资组合，虚线代表横截面回归的拟合结果，实线代表式(2)的拟合结果。以十等分组为例，投资组合排序法在横截面上计算最右侧和最左侧五角星所代表的两个投资组合的收益率之差width=14,height=17,dpi=110(即对冲组合收益率)，进而通过检验width=14,height=17,dpi=110在时间序列上是否显著不为零，或者是否能被资产定价模型完全解释，来进行异象效应判断。横截面回归法在横截面上估计虚线的斜率λt，即因子收益率，然后在时间序列上进行回归，并增加预设的其他因子作为控制变量来观察λt的系数是否显著不为零，进而进行异象效应判断。Freyberger et al.(2020)指出对异象指标进行线性变换不会影响λt的估计结果，且当将特征数值矩阵进行正规化之后，横截面回归法等价于投资组合排序法。显然，FDA法的拟合结果是横截面线性回归的扩展，包含了更多的非线性信息。但是这种形式不方便分析，所以下面要对拟合出的所有曲线进行主成分分解。
width=543,height=290,dpi=110
图1 三种实证方法在横截面上的对比
(二)数据分解
若{rt(u),1≤t≤T,t∈width=1,height=1,dpi=110,0≤u≤1,u∈width=1,height=1,dpi=110}是在希尔伯特空间L2上的平稳随机函数序列，且满足E‖rt(u)‖4<∞，那么rt(u)的协方差函数可以定义为：
C(u,v)=E(rt(u)-μ(u))(rt(v)-μ(v)),
0≤u,v≤1
(3)
式中，μ(u)=E(rt(u))是rt(u)的均值函数。
令λ1≥λ2≥…≥0代表协方差函数C(u,v)从大到小排序的特征值，φ1(u),φ2(u),…代表对应的特征函数，再次利用Karhunen-Loève定理可以得到：
width=234,height=38,dpi=110
(4)
式中，ξt,m=width=14,height=32,dpi=110rt(u)φm(u)du，也被称为谐波载荷。因此，对随机函数集合{rt(u)}进行泛函主成分分解能同时得到其在横截面上的变化模式φm(u)及其对应在时间序列上的变化模式ξt,m。
在实际应用中，对于样本量为T的函数型观察值集合{rt(u)}，可以用式(5)估计其样本协方差函数：
CT(u,v)=width=207,height=41,dpi=110
-μT(v)), 0≤u,v≤1
(5)
式中，width=137,height=41,dpi=110为样本均值函数。
特征值λm和特征函数φm(u)分别通过样本协方差函数CT(u,v)的特征值序列width=17,height=17,dpi=110和特征函数width=17,height=20,dpi=110进行估计，它们满足：
width=313,height=32,dpi=110
(6)
根据Horváth & Kokoszka(2012)，rt(u)在前M个最大特征值对应特征函数张成的M维空间width=193,height=20,dpi=110中可以表示为：
width=310,height=41,dpi=110
1≤t≤T
(7)
式中，width=299,height=49,dpi=110
于是，函数型观测值集合{rt(u)}的动态特性就可以被分解为有限个特征函数估计值width=44,height=20,dpi=110及其对应的谐波载荷估计值width=32,height=20,dpi=110每个特征函数所能捕捉到整体样本波动比例取决于其对应的width=26,height=17,dpi=110由样本反映出的横截面平均变化为：
width=237,height=41,dpi=110
(8)
式中，width=208,height=41,dpi=110
接下来可以利用上述width=78,height=20,dpi=110和width=23,height=20,dpi=110的估计值构造统计量进行异象研究(见第四部分)。
三、数据来源和预处理
本文的数据来源于国泰安CSMAR数据库，并采用Wind金融终端数据进行比对，包含了沪深两市所有A股股票的日度、月度收益率数据和财务报表数据。考虑到幸存者偏差问题，本文同时补齐了所有已退市股票的数据，而且剔除股票在ST，*ST，SST和S*ST时期的数据。1997年是我国股市开始实行涨跌停板制度的第一年，考虑到涨跌停板限制对股票收益的影响较大，所以本文的样本区间最终选取1997年1月至2019年12月。
随着我国股市的不断扩容，横截面上的样本数量从1997年1月的319只增长至2019年12月的3 872只，造成了面板数据的不平衡。为使横截面上投资组合数量相等且方便与分位数对比，本研究选取N=100。在这种情况下，即使是2019年12月有3 872只样本，横截面上的任一投资组合中也只有不到40只股票，能够极大地消除加权方式对投资组合收益率的影响。考虑到平均加权容易高估小盘股带来的异常收益，本文采用市值加权的方法。
根据Fama & French(2020)的定义，本文分别采用总市值、账面市值比、总资产变化率和净资产收益率来代表规模、价值、投资和盈利异象的特征指标，动量特征指标采用过去一年(不含最近一个月)的累积收益率(Jegadeesh & Titman，1993)。与Fama & French(2020)不同的是，所有的特征指标都采用最近一期的季度或者年度报表数据进行计算。具体来说：对数总市值的计算是t-1月收盘价与总股本的乘积；账面市值比的计算是通过t-1月之前最近的季报或者年报的账面价值除以t-1月收盘时总市值；总资产变化率是截止t-1月底，最新两次报表中总资产的对数变化率；净资产收益率计算是截止t-1月底前最新季度或者年度报表中总利润减去销售、管理、财务和利息费用后与账面价值的比率。
在每个t-1月计算全市场股票的五种定价异象对应的特征指标，然后进行排序并构造N个投资组合；在每个t月计算这些投资组合的市值加权收益率，此时Nu等价于特征指标在样本中的分位数，并利用式(2)进行平滑，就可以得到T个函数型样本{rt(u),t=1,2,…,T}。将所有样本按照时间排序可以得到不同定价异象对应的收益率变化曲面，以下简称“定价异象曲面”。根据所选定价异象的不同，分别简称为“规模曲面”“价值曲面”“盈利曲面”“投资曲面”和“动量曲面”。图2给出了自然排序(按照股票代码进行排序)与按定价异象特征指标排序的曲面图，其中图2(a)是自然排序的曲面；图2(b)是按个股对数总市值排序后的曲面图，即“规模曲面”；图2(c)是按个股最新一期报表计算出的账面市值比(BM)排序后的曲面图，即“价值曲面”；图2(d)是按个股最新一期报表计算出的净资产收益率排序后的曲面图，即“盈利曲面”；图2(e)是按个股最新两期报表计算出的总资产变化率排序后的曲面图，即“投资曲面”；图2(f)是按个股t-12月到t-2月累积收益率排序后的曲面图，即“动量曲面”。 可以看出，这些曲面存在显著的不同，本文认为这种差异是由于构造数据时采用的特征指标不同所引起的。
width=306,height=176,dpi=110
width=306,height=176,dpi=110
width=305,height=161,dpi=110
width=306,height=161,dpi=110
width=304,height=176,dpi=110
width=309,height=178,dpi=110
图2 不同排序方法下的收益率曲面对比
四、实证结果和分析
对曲面{rt(u),t=1,2,…,T}进行分解可以获得其若干个实证主成分和谐波载荷的乘积。根据式(7)，第m个实证主成分width=44,height=20,dpi=110随分位数u变化，代表了横截面上的变化规律；其谐波载荷width=23,height=20,dpi=110随时间t变化，代表了该主成分在时间序列上的变化规律；m为主成分的序号，与u和t无关。因此，第m个实证主成分及其统计量所代表的意义如下：
width=73,height=20,dpi=110代表第m个主成分所表示的曲面；
width=137,height=20,dpi=110代表第m个主成分曲面在时间序列上的投影，即异象指标在时间上对全市场平均收益率的影响；
width=126,height=20,dpi=110代表第m个主成分曲面在横截面上的投影，由于曲面都是按照滞后一期的特征指标排序构造的，因此它代表异象指标能够预测的期望收益率在横截面上的某种变化模式；
width=155,height=41,dpi=110代表特征指标能够预测的期望收益率在横截面上的整体变化模式。
根据算法，首先可以利用式(6)确定每个实证主成分对曲面波动的贡献比例，该数据代表它们对投资组合收益率波动的解释能力。前8个实证主成分对五种定价异象曲面波动的贡献比例如表1所示。
表1 实证主成分对定价异象曲面波动的贡献比例 单位：(%)
width=745,height=170,dpi=110
说明：表头1～8分别代表实证主成分的序号，对应数值为式(6)中的width=14,height=20,dpi=110值除以全部width=14,height=20,dpi=110之和。
从表1可以看出，五种曲面的前3个实证主成分对曲面波动的贡献比例之和都达到了97%左右的高水平。其中，第一个实证主成分的数值都高于90%，按大小排序依次对应规模、投资、盈利、价值和动量因子；第二个实证主成分的数值大幅下降，但仍然大于1%，按大小排序依次是动量、价值、盈利、规模和投资因子；从第四个实证主成分开始的所有数值都不足0.5%。因此，接下来着重讨论前3个实证主成分。
实证主成分width=146,height=20,dpi=110代表了收益率在横截面上可能存在的变化规律，绘制图2中六种曲面的前3个实证主成分曲线如图3所示。其中，图3(a)给出了自然排序曲面，图3(b)给出了规模曲面对应的前3个实证主成分，横轴为分位数，纵轴为实证主成分函数的值。
width=321,height=200,dpi=110
width=321,height=199,dpi=110
图3 前3个实证主成分的对比
需要重点指出的是，传统的异象研究对象是图2中不同曲面在横截面上的投影，它们可以通过图3中实证主成分的加权和来近似表示。可以看出，第一个实证主成分曲线的规律对所有曲面都成立，说明第一个实证主成分的重要性极强而且与异象指标无关，这一点与表1中第一个主成分非常高的解释能力一致。除了自然排序的情况外，第二个和第三个实证主成分曲线分别表现出单调性和凸性的规律，说明它们是由异象指标排序而引起的。接下来对五种定价异象曲面的前3个实证主成分进行逐一分析，并结合拔靴法对其进行稳健性验证。
(一)第一个实证主成分：市场因子的扩展
图3中全部曲面的实证主成分width=41,height=20,dpi=110都呈现为一条近似水平的直线，说明它所解释的收益率变化规律与曲面的构造方法无关，是一种全局的规律；而且它的解释能力主要在时间序列上。利用width=64,height=20,dpi=110对u取期望，可以得到：
width=217,height=20,dpi=110
这是第一个实证主成分对应曲面在时间序列上的投影。
为了确定这种水平规律的稳健性，采用拔靴法对{rt(u),t=1,2,…,T}进行50 000次重抽样，并计算width=96,height=20,dpi=110中位数及其95%置信区间如图4所示。可以看出width=96,height=20,dpi=110在横截面上变化规律基本与分位数无关。
Boubaker et al.(2021)认为美国市场上的width=93,height=20,dpi=110是市场因子在横截面上的扩展。按照下式进行回归得到的主要统计量见表2：
width=264,height=20,dpi=110
(9)
表2中，width=8,height=14,dpi=110都显著且数值接近于0，调整后R2都在0.90以上，说明拟合程度相当高，而系数width=11,height=20,dpi=110都非常显著且接近于1，说明第一个实证主成分曲面在时间序列上的投影几乎等价于市场因子，该规律与美国市场一致。
width=342,height=200,dpi=110
图width=108,height=23,dpi=110中位数及其95%置信区间
(以“规模”为例)
表width=413,height=23,dpi=110与市场因子的关系
width=806,height=181,dpi=110
注：括号中是经过Newey-West调整的t统计量，以上回归系数均在95%置信水平上显著。
由于width=105,height=20,dpi=110代表第m个实证主成分曲面在时间序列上的变化，其影响程度不仅取决于width=88,height=20,dpi=110还取决于width=32,height=20,dpi=110那么，同时考察所有实证主成分对分位数的期望width=82,height=20,dpi=110就可以分辨出它们在时间序列上的重要性。从表3可以看出第一个实证主成分对应的width=79,height=20,dpi=110在数量级上明显远大于其他主成分。
同理，同时考察所有实证主成分谐波载荷width=23,height=20,dpi=110对时间的期望可以分辨它们在横截面上的重要性。但由于width=23,height=20,dpi=110在时间序列上波动较大，取均值的方法可能导致很多数据相互抵消，所以本文对其绝对值的期望width=75,height=20,dpi=110进行对比，具体数据见表4。可以看出，第一个实证主成分对应的width=73,height=20,dpi=110也明显远大于其他主成分。
综上所述，无论定价异象曲面如何构造，市场溢价都能主导收益率在时间序列上的绝大部分变化，而对横截面上的变化解释能力较弱。第一个实证主成分能够同时捕捉到市场风险对股票收益率在时间序列和横截面上的影响，相当于将市场因子从一维的时间序列拓展到二维的曲面上；根据实证主成分之间相互正交的性质，本文所采用的FDA法能够通过第一个实证主成分完全剔除市场因子对定价异象研究的影响。
表3 实证主成分对分位数u的期望width=90,height=20,dpi=110
width=745,height=170,dpi=110
说明：表中各列分别代表实证主成分对分位数的期望width=246,height=20,dpi=110
表4 实证主成分谐波载荷绝对值对时间t的期望width=67,height=23,dpi=110
width=815,height=199,dpi=110
说明：表中各列分别代表实证主成分谐波载荷绝对值对时间t的期望width=275,height=23,dpi=110
(二)第二个实证主成分：横截面上的“单调”效应
在剔除了第一个实证主成分后，根据表1可以计算出所有曲面的第二个实证主成分都能解释超过50%的剩余波动。由于它们所展示的收益率波动规律主要在横截面上，所以本节重点考察它们对时间t的期望：
width=213,height=20,dpi=110
50 000次拔靴法计算的width=90,height=20,dpi=110中位数及95%置信区间见图5。实证结果显示，规模曲面对应的width=90,height=20,dpi=110单调下降，即市值规模指标处于低分位数上的投资组合能够取得比高分位数上更高的平均收益；其他定价异象曲面对应的width=90,height=20,dpi=110全部单调递增，即定价异象特征指标处于高分位数上的股票能够取得相对较高的平均收益率。但是价值和动量曲面对应的95%置信区间边界不具有单调性，说明这两种定价异象的稳健性较差。
width=331,height=214,dpi=110
图width=108,height=23,dpi=110中位数及其95%置信区间(以“规模为例”)
表5前五行给出了width=96,height=20,dpi=110的最大值、最大值对应的分位数、最小值、最小值对应的分位数和最大值与最小值之差，可以看出横截面单调性效应中按数值幅度排序依次是规模、盈利、价值、投资和动量，而且它们的极值基本上都处于横截面的两端。表5后两行给出了对u进行归一化之后，按照width=164,height=20,dpi=110回归的主要结果，调整后R2反映了width=96,height=20,dpi=110与标准线性的相关性程度，系数width=17,height=20,dpi=110体现了单调性效应的方向和强弱程度，其绝对值越高强度就越强，按强弱排序依次是规模、盈利、价值、投资和动量。
表5 width=85,height=23,dpi=110统计量对比
width=745,height=246,dpi=110
注：括号中是经过Newey-West调整的t统计量，以上回归系数均在95%置信水平上显著。
width=64,height=20,dpi=110能够捕捉到由异象特征引起的横截面收益率单调变化，原因在于以下几点：首先，width=41,height=20,dpi=110是唯一的单调特征函数，包含了线性关系；其次，width=14,height=20,dpi=110与width=46,height=20,dpi=110等都是标准正交基，投影到width=14,height=20,dpi=110上的分量与其他特征函数不相关，即width=20,height=20,dpi=110完全不受市场因子和其他非单调性效应的影响；最后，width=64,height=20,dpi=110是在横截面上波动最大的成分，能够解释最多的横截面收益率变化。需要注意的是，表5给出的单调变化规律与横截面回归法得到的结果不完全一致，因为横截面回归法是所有主成分在横截面上变化规律的线性近似，在回归的时候并没有剔除市场因子和其他非单调性效应的影响。
(三)第三个实证主成分：横截面上的“凸性”效应
尽管第三个实证主成分曲面对整体收益率波动的贡献较低，但整体都呈现出二次型的特征，即两个极端分位数和中位数附近的数值有明显差异，称之为“凸性”效应。图6给出了50 000次拔靴法计算出的width=96,height=20,dpi=110中位数及其95%置信区间，从图形上可以看出只有规模曲面展示出了比较强的规律。
width=336,height=236,dpi=110
图width=107,height=23,dpi=110中位数及95%置信区间
(以“规模”为例)
表6前五行给出了width=96,height=20,dpi=110的最大值、最大值对应的分位数、最小值、最小值对应的分位数和最大值与最小值之差，可以看出横截面凸性效应中按数值幅度排序依次是规模、动量、投资、价值和盈利。表6后两行给出了对u进行归一化之后，按照width=176,height=23,dpi=110回归的主要结果，调整后R2反映了width=96,height=20,dpi=110与标准二次型的相关性程度，系数βu2体现了凸性效应的方向和强弱程度，绝对值越高强度越强，按强弱排序依次是规模、动量、投资、价值和盈利。
图6反映了这样一种规律——投资者对于极端分组的态度和中央分组的态度之间存在明显差异，笔者认为这与中国A股市场中的投资者普遍采用指标排序进行选股有关。在没有获得足够多有关企业经营信息的情况下，投资者们倾向于用某种特定指标构造自己的股票池，并按照技术指标进行交易。例如，风险偏好弱的保守投资者通常会关注低估值的价值股，他们在选股时往往会根据BM值排序，然后从BM值最高的那一部分股票中进行筛选投资；而风险偏好高的激进投资者会关注成长股，他们也会根据BM值排序，但是去筛选BM值低的股票进行投资。这种现象造成BM值处于中央位置的那些股票受到冷落，表现出极端分位数和中位数上的股票收益率存在差异。位于BM中位数上的股票，只有当它们另外某种指标(例如动量、盈利或投资因子指标)处于极端分位数上时，才会受到另外一些风格偏好的投资者们的关注。从表6可以看出，只有规模对应的width=93,height=20,dpi=110最大值和最小值之差能够取得超过1%的月度收益，具有比较明显的“分置效应”，其他风险因子对应的分置效应能够带来的收益很低且稳健性弱。另外，动量曲面表6中的width=20,height=23,dpi=110与表5中的width=17,height=20,dpi=110符号相反且绝对值更大，说明动量异象中的凸性效应会掩盖单调效应，可能会造成传统方法无法识别。
表6 width=87,height=23,dpi=110统计量对比
width=745,height=269,dpi=110
注：括号中是经过Newey-West调整的t统计量，以上回归系数均在95%置信水平上显著。
(四)横截面上的整体分析
传统异象研究方法只能简单剔除市场风险的影响(投资组合排序法之间通过对两个投资组合取差值剔除，横截面回归法忽略每次回归的截距项来剔除)，无法剔除与异象指标相关其他因素的影响。它们研究的对象是横截面收益率的整体变化模式，因此，本小节使用式(8)代表传统方法与图5进行对比(见图7)。
无论是投资组合排序法还是横截面回归法，根据图7都只能分析出A股市场存在规模、价值、盈利和投资四种异象，幅度从大到小依次排序是规模、价值、盈利和投资因子，单调性程度由强到弱排序依次是规模、盈利、价值和投资因子，这与现有文献的讨论结果基本吻合。但是，从图7也可以看出横截面期望收益率不服从严格的线性变化，这说明一方面传统异象研究的线性假设与真实情况有较大偏差，应该采用非线性或者无参数方法进行研究；另一方面，交易噪音和其他因素对异象效应的影响比较大，但传统研究方法对这种现象无能为力。
利用FDA法和拔靴法的实证结果显示，A股市场上五种定价异象的特征指标都能预测期望收益率在横截面上的单调效应，该效应与市场因子和其他非单调性效应无关。另外，交易行为会引起凸性效应，当它的效应较强时会掩盖单调效应，进而导致异象无法被传统方法识别。
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图7 不同曲面的横截面期望width=34,height=14,dpi=110
六、总结
本文基于FDA法对A股市场上规模、价值、投资、盈利和动量五种重要的定价异象进行研究。通过与传统实证研究方法和结果的对比，论证了FDA法能够精确地提取定价因子相关特征与期望收益率之间的各种关系，并对五种定价异象的单调效应和凸性效应进行估计和稳健性检验。
本文的主要实证结果可以总结为以下几点：首先，第一个实证主成分主要作用在时间序列上，它代表了时序市场因子在横截面上的扩展，且与其他实证主成分正交，不会对横截面上的异象效应研究造成影响。其次，第二个实证主成分揭示了资产定价异象在横截面上的“单调”效应，即异象指标能够预测期望收益率在横截面上的单调变化模式。与横截面回归方法的结果相比，这种单调效应与市场因子和其他非单调效应都无关。A股市场上五种定价异象的单调效应幅度从大到小的顺序是规模、盈利、价值、投资和动量，但是价值和动量的稳健性较差，是导致现有文献中价值和动量异象存在不一致结论的一个原因。最后，第三个实证主成分揭示了资产定价异象在横截面上的“凸性”效应，即异象特征指标能够预测期望收益率在横截面上的二次型变化模式。这种效应与投资者在投资实践中普遍只关注极端分位数而忽视中位数附近股票的“分置效应”有关，A股市场上五种定价异象的凸性效应幅度从大到小的顺序是规模、动量、投资、价值和盈利，且只有规模异象具有稳健的凸性效应。凸性效应与单调效应无法被传统方法分别研究，是导致文献中动量异象结论不一致的另外一个原因。
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A FUNCTIONAL PRINCIPAL COMPONENTS ANALYSIS ON THE ASSET PRICING ANOMALIES
LI Bo1 LIU Zhenya2,3,4
(1.Business School，Beijing International Studies University；2.School of Finance，Renmin University of China；3.China Financial Policy Research Center，Renmin University of China；4.CERGAM，Aix-Marseille University)
Abstract：This paper studies five pricing anomalies in China’s A-share markets based on functional principal components analysis (FPCA).Compared with the conventional approaches，the FPCA approach can accurately extract the monotonic and non-monotonic relationship between firm characteristics and expected returns.The empirical results show that the sorted panel data of returns mainly includes three principal components：the first one represents the expansion of market premium in the economic sense，which is independent of all anomaly effects.The second one represents the cross-sectional “monotonic” effect of anomalies，in which the robustness of value and momentum anomalies is weak.The third one represents the cross-sectional “convexity” effect of anomalies，which is related to the “dispersion effect” caused by investors’ behavior.
Key words：anomaly；asset pricing；risk factors；functional principal component analysis
李博，北京第二外国语学院商学院，邮政编码：100024，电子信箱：libo@bisu.edu.cn；刘振亚(通讯作者)，中国人民大学财政金融学院，中国财政金融政策研究中心，法国马赛大学CERGAM研究中心。本文为北京第二外国语学院科研专项项目“资本市场风险因子估计方法及应用研究”(21110013585)研究成果。感谢匿名审稿人和编辑部提出的修改建议，笔者已做相应修改，文责自负。
(责任编辑：张雨潇)
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