西南大学22春[0772]《中学代数研究》课程作业（含答案）
1、高中代数课程的基本主线是（?）.?方程
西南大学2022年春季学期作业
.?不等式
.?函数??
.?数列
2、用复数的棣莫弗公式，可以推导（?）
.?三角函数的n倍角公式??
.?一元二次方程的求根公式
.?点到直线的距离公式
3、不定方程求解的算理依据是（?）
.?B.孙子定理
.?辗转相除法??
.?单因子构件法
.?拉格朗日插值法
4、?在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的（?）
.?形式推导
.?直观理解??
.?恒等变换
5、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（?）
.?连续性
.?完备性
.?稠密性
.?可数性??
6、代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科，根据数学对象的不同表现代数学可分为（?）
.?方程和函数
.?古典代数和近代代数??
.?数列和算法
.?抽象代数和近世代
7、下列说法，哪个是正确的（?）
.?复数集是一个有序域
.?复数可以比较大小
.?复数可以排序??
8、下列哪个说法是错误的（?）
.?用尺规作图可以三等分角??
.?用尺规作图可以二等分角
.?用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线
.?用尺规作图可以画出根号5的数
9、任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有（?）
.?完备性
.?稠密性??
.?可数性
.?连续性
10、?三角形的余弦定理同（?）有内在联系
.?二维柯西不等式??
.?二维排序不等式
.?二维均值不等式
11、下列说法，哪一个是错误的（?）
.?有理数集是可数的
.?实数集是可数的??
.?自然数集是可数的
12、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为（?）
.?F.关系??
.?对偶
.?序偶
.?结构
13、高中教材“函数”的定义采用的是（?）
.?函数“对应说”；??
.?函数“变量说”；
.?函数“关系说”
14、用（?）方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。
.?拉格朗日插值公式??
.?数列的母函数
.?高阶数列的求和递推公式
15、不定方程求解的算理依据是（?）
.?孙子定理
.?单因子构件法
.?辗转相除法??
.?拉格朗日插值法
16、点到直线的距离公式，可以用（?）推出
.?C.加权平均不等式
.?D.柯西不等式??
.?均值不等式
.?排序不等式
17、下列那个定理所体现出来的方法是单因子构件法（?）
.?正弦定理
.?孙子定理??
.?代数基本定理
.?韦达定理
18、在算法的教学中，应当注意培养学生的数学表达能力。
.A.√??
.B.
19、《孙子算经》、《周髀算经》、《九章算术》并称为我国最古老的数学三大名著。
.A.√??
.B.
20、在数学运算中，善于进行恒等变形是一项基本数学能力。
.A.√??
.B.
21、在戴德金分割中，存在下列情形：戴德金分割的下集中有最大数，上集中有最小数。
.A.√
.B.??
22、“孙子定理”和拉格朗日插值公式在思想方法上是相通的。
.A.√??
.B.
23、代数学一般有古典代数与近代代数之分。
.A.√??
.B.
24、实数集是可数的。
.A.√
.B.??
25、复数集是一个全序集。
.A.√??
.B.
26、顺序关系具有反身性、对称性、传递性。
.A.√
.B.??
27、有理数集和自然数集具有相同的“势”。
.A.√??
.B.
28、斐波拉契数列和黄金分割数有密切的关系。
.A.√??
.B.
29、0.999……=1
.A.√??
.B.
30、基本初等函数的一个重要的特点是它能通过一个统一的代数式在定义域上表达出来。
.A.√??
.B.
31、戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”三个条件。
.A.√??
.B.
32、“中学代数教学”的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的直观理解。
.A.√??
.B.
33、在自然数公理系统中“1”和“′”是两个没有实质意义的形式符号。
.A.√??
.B.
34、对于数轴上的有理数，我们有两个相邻的有理数的说法。
.A.√
.B.??
35、无穷小不是一个理想的数。
.A.√
.B.??
36、实数的有理数区间套定义和戴德金分割定义，两种定义方法在本质上是一致的。
.A.√??
.B.
37、柯西不等式与余弦定理有内在的联系。
.A.√??
.B.
38、算术到代数的演进加速了数系的形成。
.A.√??
.B.
39、在讨论函数的复合运算时，使用函数的“变量说”定义比较方便。
.A.√
.B.??
40、三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题。
.A.√??
.B.
41、有理数对极限运算是封闭的。
.A.√
.B.??
42、对于数轴上的有理数，我们有两个相邻的有理数的说法。
.A.√
.B.??
43、数学归纳法具有两个缺一不可的性质：即归纳性、演绎性。
.A.√??
.B.
44、用尺规不能二等分角。
.A.√
.B.??
45、我们可以把复数看成是满足相应运算法则的二元实数(ab)。
.A.√??
.B.
46、0与空集的基数相对应，所以从集合论的角度看，0应当是自然数。
.A.√??
.B.
47、自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性，所以，也可以把数学归纳法当作公理来看待。
.A.√??
.B.
48、在讨论复数的乘法运算时，复数的三角表达式比坐标表达式有更多的好处。
.A.√??
.B.
49、有理数对极限运算是封闭的。
.A.√
.B.??
50、实数集是可数的。
.A.√
.B.??
51、“中学代数教学”的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的直观理解。
.A.√??
.B.
52、函数的“关系说”定义比“对应说”定义更形式化。
.A.√??
.B.
主观题
53、?试用自然数（皮亚诺）公理系统证明数学归纳法：
设p(n)是关于自然数n的命题，如果p(n)满足下面的条件：
（1）p(1)成立；
????（2）假定从P(k)成立可以推出p(k+1)也成立，则命题p(n)对所有的自然数n都成立。
参考答案：
?参见教材《中学代数研究》张奠宙?张广祥编著?P8定理1的证明
答案要点：
证??设M是使P(n)成立的自然数的集合。由于P(1)成立，可知1属于M。又因由P(K)成立可以推出P(k+1)成立，所以如果K属于M，其后继kˊ也属于M。于是由公理5得M=N（全体自然数所成的集合）。因此，对于任意自然数nP(n)成立。
54、
?
参考答案：
?
abc各不相等答案.docx
55、证明自然数的加法满足交换律，即对于任意自然数a和b有a+b=b+a.
参考答案：
?
答案要点：
我们要证交换律a+b=b+a.可以分以下两步证明。
①?.我们先证明等式a+1=1+a
因此对a用归纳法。
?????设M是使等式成立的所有a的集合，显然，1∈M，
??????如果a?∈M那么a+1=1+a于是
???????aˊ+1=(a+1)+1
???????=(1+a)+1
???????=(1+a)ˊ=1+aˊ
所以aˊ∈M由归纳公理，?a+1=1+a
?
②?.我们对b用归纳法，证明a+b=b+a
??设M是对于给定a使得等式成立的所有b的集合，由①已证知，1?∈M，
????如果b?∈M那么a+b=b+a利用已证过的结合律，得到
??????a+bˊ
??????=(a+b)ˊ
??????=(b+a)ˊ
??????=b+aˊ
??????=b+(a+1)
??????=b+(1+a)
??????=(b+1)+a
??????=bˊ+a.
?????所以bˊ∈M由归纳公理，故加法的交换律被证明。
56、进入21世纪之后，我国新颁布的《高中数学课程标准（实验稿）》为什么要把“算法”列入必修课？
参考答案：
?参照教材《中学代数研究》P179180
57、请说明为什么复数不能比较大小。
参考答案：
参考答案复数不能比较大小.docx
58、试述“中学代数研究”的研究方法？
参考答案：
?
答案要点：
?
长期以来，对中学代数的研究存在一种单一的“严格化”倾向，即对中学代数知识用成熟的数学语言系统，逻辑地建立起来，中学代数研究的一个主要目的就是将中学里“不严格的内容”加以严格化。我们并不反对要将中学代数知识严格化、系统化，毕竟这有助于对数学知识有更深入地认识和了解，但是单纯地为严格化而严格化，就失去了中学代数研究的重要目的。正如F.克莱因指出的，我们当然要用较高的观点处理初等数学知识，只有观点越高，事物越显得简单；另外，还要为中学数学教学服务，数学知识的讲授应当顾及到学生的心理，不应只讲究系统。为此，我们认为中学代数研究的基本方法应从如下三方面入手：
(一).从较高的数学观点来研究中学代数知识，加深对相关内容的本质理解；
例：为什么复数不能比较大小
在中学里，我们知道两复数相等时当且仅当它们的实部等于实部，虚部等于虚部。如果问：两复数不等时，它们有没有大小关系？
其实，复数之间能建立一种顺序关系，即前后关系，但不能建立大小关系。我们可以将平面上的点“排队”，即按照字典方法将复数排队，两个复数，先比较实部，实部较小的复数排在前面，如果实部相等，再比较虚部，以虚部小的复数排在前面。通过这种方式能将复平面上的点进行排序，由此可知复平面上的点是可以有顺序的。
那么为什么复数不能比较大小呢？要弄清这个问题，必须要弄清什么是大小关系？什么是有序域？在以后的学习中，我们会知道大小关系必须满足两种性质，即加法保序性和乘法保序性，复数集是不能同时满足这两种性质的，从而复数不能比较大小。
在中学代数中，类似以上的例子还有很多，我们只有通过从较高的数学观点出发，才能清楚地理解或回答类似的问题。
(二).用有机联系的观点来研究，丰富对中学代数知识的理解；
数学各知识间具有有机联系性，这不仅表现在“高等数学”与“初等数学”之间，而且在数学知识的各分支中，尤其是“数”与“形”的联系。在以后有关不等式的学习中，我们会突出这一点，即抽象的代数形式一般具有直观的几何图形给予说明和解释。
?我们从几何的角度去处理代数知识或反过来，当把这种方法用于教学中时，学生就不会感到代数只是一些抽象而枯燥的符号、公式、命题。这体现了“中学代数教学”的一个基本原则：形式化与直观理解相结合。
(三).适当注意对解题的研究，强化对中学代数知识理解的应用性。
数学学习和教学离不开解题，因此中学代数研究还要注意对解题方法的研究。当然，我们不主张“题海战术”，只是适当注意对数学解题方法的研究而已。
59、为什么有理数一定可以写成循环小数的形式，反之，任何一个循环小数也可写成有理数的形式？
参考答案：有理数与循环小数的关系
如果有理数p/q不是有限十进位小数，那么通过不断地作除法能表示为一个无限的十进位小数。在这一过程中，每次必然有一个非零的余数，否则这十进位小数是有限的。在除的过程中出现的所有不同余数将是1和q1之间的整数，所以最多只能有q1个不同的余数值，这意味着，最多除q次，某个余数k将第二次出现。但由此随后而来的所有余数，将按照余数k第一次出现后它们出现的同样次序重复。这说明任何有理数的十进位小数表示式是循环的；开始出现有限个数码，随后同样的一个数码或一组数码将无限次地出现。
例如，1/6=0.16666666…；1/7=0.142857142857…；1/11=0.09090909…等等。那些能表示为有限小数的有理数，也可以认为是一个循环小数，它在有限个数码之后，只是无限次地重复着数0。
反之，所有循环小数都是有理数。例如，取无限循环小数
P=0.3322222…，
我们有p=。括号中的表达式是一个无穷等比级数
因此
对一般情形的证明在实质上是一样的。所以，我们说，任何有理数的十进位小数表示式都是循环的；反之，所有循环小数都是有理数。
60、试述函数概念的历史发展及中学两种函数概念的异同，说明中学生学习函数概念的认知难点及教学策略。
参考答案：
?参照教材《中学代数研究》P94与P118
61、什么是数学表达能力？请在算法的教学中举一例说明如何培养学生的数学表达能力？
答：所谓数学表达能力，是指将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程等，用恰当的数学语言（包括自然语言、数学图形语言、数学符号语言等）准确流畅地表达出来的能力。
数学语言根据其表达形式的不同，可分为自然语言、图形语言和符号语言。这三种形式的数学语言在数学学习中，扮演着各自不同的作用。自然语言易表达，图形语言直观形象，而符号语言抽象、严谨、准确。让学生掌握好这三种语言各自的特点，使培养他们的数学表达能力的基本条件。
根据这三种语言的各自特点，使学生由易而难，依次掌握不同的数学语言是培养数学表达能力的基本途径。
在算法教学中，我们可以用自然语言叙述算法，也可以用程序框图表示算法，还可以用算法语句编写程序使计算机执行算法。自然语言描述的算法步骤、程序框图和程序是不同形式的算法，依次由自然语言、过渡到程序框图，再到算法语句，这体现了算法逐渐“精确”的过程。
例：设计一个计算1+2+3+…+100的值的算法，并画出程序框图。(高中人教版必修3，P13)
首先，用自然语言表达：写出1之后，先算1+2，所得的和再加3，所得的和再加4，所得的和再加5以此类推，一直加到100。即，
其次，用顺序结构程序框图表示，并认识到对此进行简化的必要性。如下图：
到这里，教师引导学生寻找规律，提出能否简化顺序结构框图。根据学生的认知，初步形成循环框图，引出循环结构的概念。
通过以上由易而难的教学程序，能使学生更好地理解所学的算法结构，也为以后学习算法语句奠定了基础。
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