西交《线性代数》拓展资源(二)
西交《线性代数》拓展资源(二)计算n阶行列式的若干方法举例
n阶行列式的计算方法很多,除非零元素较少时可利用定义计算(①按照某一列或某一行展开②完全展开式)外,更多的是利用行列式的性质计算,特别要注意观察所求题目的特点,灵活选用方法,值得注意的是,同一个行列式,有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法,并举例说明。
利用行列式定义直接计算
例1计算行列式
解Dn中不为零的项用一般形式表示为
.
该项列标排列的逆序数t(n-1 n-2…1n)等于,故
利用行列式的性质计算
例2一个n阶行列式的元素满足
则称Dn为反对称行列式,证明:奇数阶反对称行列式为零.
证明:由知,即
故行列式Dn可表示为
由行列式的性质
当n为奇数时,得Dn =-Dn,因而得Dn = 0.
化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3计算n阶行列式
解:这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等,根据行列式的性质,把第2,3,…,n列都加
到第1列上,行列式不变,得
降阶法
降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是先利用列式的性质化简,使行列式中有较多的零出现,然后再展开。
例4计算n阶行列式
解将Dn按第1行展开
.
逆推公式法
逆推公式法:对n阶行列式Dn找出Dn与Dn-1或Dn与Dn-1, Dn-2之间的一种关系——称为逆推公式(其中Dn, Dn-1, Dn-2等结构相同),再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。
例5证明
证明:将Dn按第1列展开得
由此得递推公式:,利用此递推公式可得
利用范德蒙行列式
例6计算行列式
解把第1行的-1倍加到第2行,把新的第2行的-1倍加到第3行,以此类推直到把新的第n-1
行的-1倍加到第n行,便得范德蒙行列式
加边法(升阶法)
加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列,且保持原行列式不变的方法。
例7计算n阶行列式
解:
(箭形行列式)
数学归纳法
例8计算n阶行列式
解:用数学归纳法. 当n = 2时
假设n = k时,有
则当n = k+1时,把Dk+1按第一列展开,得
由此,对任意的正整数n,有
拆开法
把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两个行列式之和,使问题简化以利计算。
例9计算行列式
解:
……
上面介绍了计算n阶行列式的常见方法,计算行列式时,我们应当针对具体问题,把握行列式的特点,灵活选用方法。学习中多练习,多总结,才能更好地掌握行列式的计算。本内容由易百网整理发布
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