西交《线性代数》拓展资源(三)
西交《线性代数》拓展资源(三)矩阵的应用
矩阵在各个领域都有广泛的应用, 用矩阵的初等行变换来求解一般的线性方程组,这本身就是矩阵的一个应用. 另外我们还可以用方阵的逆矩阵来求解方程组. 也可以用矩阵来解决调配问题、下料问题等. 还有就是数字图象措置惩罚、计较机图形学、计较几何学、人工智能、收集通讯、和一般的算法设计和阐发等.矩阵在不但并行应用中使通讯优化, 而且在航天中也有很多的应用.随着科学技术的发展,矩阵的应用已经深切到了天然科学,社会形态科学,工程技能,经济等各个范畴.如:
例1 图1为1,2,3,4四个城市之间的空运航线的有向图. ① ④
② ③
图1
它可以用矩阵表示为.
例2、 由网孔法设桥式电路中闭合回路的电流分别为,如图2所示:
图2
已知,计算流过中央支路的电流.
解:由基尔霍夫第二定律(电压定律)得如下方程组:
即
同样计算如下几个行列式
所以
从而,流过中央支路的电流为.
即电流是从流向的.
例3、(调配问题)设有三种酒甲乙丙,它们各含三种主要成分的含量如下表:
甲酒
0.7
0.2
0.1
乙酒
0.6
0.2
0.2
丙酒
0.65
0.15
0.2
调酒师现要用这三种酒配置另一种酒,使其对含量分别是:66.5%,18.5%,15%,问能否配出合乎要求的酒?比例分配如何?当甲酒缺货时,能否用含三种主要成分为的丁酒替代?比例分配又如何?
解:设甲乙丙三种酒的比例分配为,根据题意可得矩阵方程
其正数解即为所求.
可以得出
所以
即能用甲乙丙三种酒调配出合乎要求的酒来,其比例分配为甲酒50%,乙酒20%,丙酒30%.
若用丁酒来替换甲酒,则有矩阵方程:
有负数解,这说明不能用丁酒来替代甲酒.
例4、(密码问题)在军事通讯中,常将字符(信号)与数字对应,如
例如信息对应一个矩阵,但如果按这种方式传输,则很容易被敌人破译. 于是必须采取加密措施,即用一个约定的加密矩阵乘以原信号,传输信号为(加密),收到信号的一方再将信号还原(破译)为. 如果敌方不知道加密矩阵,则很难破译.设收到的信号为,并已知加密矩阵为,问原信号是什么?
解:先求出
所以
即原信号为.
例5、(线性方程组问题)用逆矩阵解线性方程组.
解:设方程组的系数矩阵为,未知量矩阵为,
常数项矩阵为,
则线性方程组可以变为矩阵方程,
矩阵的逆矩阵为:
所以
故方程组的解为
例6、(矩阵方程问题)设有矩阵求矩阵,使得.
解:在均存在的情况下,用左乘、右乘的两边
得
即
而
故
.
总之,矩阵的意义不仅在于将一些数据排成阵列形式,而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算,从而使它成为理论研究和解决实际问题的有力工具.
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