西交《线性代数》faq（八）
西交《线性代数》FAQ（八）实二次型
一、用满秩线性变换将二次型化为标准形时，标准形是否唯一？
答：将一个实二次型化为标准形的方法不是唯一的（如有正交变换法、配方法），采用不同方法所化成的标准形就可能不相同，即使采用同一方法，由于变换的方式不同，所得到的标准形也可能不相同
例如
令，得
令，得
二、对于二次型假设把任意代入二次齐次式都使，是否是正定的？
答：不一定。例如
对任意有，但对有
，不符合正定定义。
三、已知均为阶正定矩阵，是否也是正定矩阵？为什么？
答：是正定矩阵，及都不一定是正定矩阵。
因为,即是实对称矩阵，且对任意，有
，故是正定矩阵。
又,即也是实对称矩阵，但对任意，有
，两个整数相减，不一定是正的，故不一定是正定矩阵。
因为,且不一定成立，所以不一定是实对称矩阵，从而不一定是正定矩阵。
四、若实二次型的规范形为，则该二次型的矩阵的特征值是否必为0和1？
答：不是。这说明该二次型的正惯性指数为1，亦即有一个正特征值，但具体数值无法确定，它可能是任意正实数，例如，则f得规范形为，但其特征值为0和2.
五、任意两个n阶的正定矩阵是否合同？
答：合同。因为这两个n阶正定矩阵的正惯性指数都是n，而负惯性指数都是0，所以它们必须合同。
六、若A为正定矩阵，问A和A-1是否一定相似？是否一定合同？
答：由于实对称矩阵A为正定的充分必要条件是特征值全为正数。而A-1的特征值是A的特征值的倒数，两者不一定相等，所以A和A-1不一定相似。另一方面，A-1的特征值必定也是正数，A-1也是正定矩阵，所以A和A-1一定合同。
七、典型例题
例1 设二次型
写出此二次型对应的矩阵；写出此二次型的矩阵表达式。
解显然,, , , , , .
于是得.
例2 化二次型为标准形，并求出所用的满秩线性变换。
解：令，即，则
其中，即
故所求满秩线性变换为
因此即为所求。
例3用配方法化二次型
为标准形,并写出所作的可逆线性变换.
解 因为标准形是平方和的形式,所以需要用配方法把变量:逐个地配成完全平方和的形式.
.
令 ①
则 .由①得所作的线性变换是：
.
因为 ，所以所作的线性变换是可逆的.
注 若二次型含有某变量的平方，先集中含此变量的乘积项,然后配方；再对剩下的个变量同样进行,依此类推下去化成平方项后，再经过非退化(或称可逆)线性变换就得到标准形.
例4用配方法化二次型
为标准形,并写出所作的可逆线性变换.
解 此二次型中没有平方项,为了能够进行配方首先要变成有平方项,为此,可作变换
①
则
.
令
②
为了写出所作的线性变换,先从②反解出,得
②′
把②′代入①,得
③
把③代入原题,得 .
③就是所作的线性变换,因为
所以线性变换③是可逆的.
例5用正交变换将实二次型化为标准形,并且写出所作的正交变换:
.
解的矩阵是
.
矩阵的特征多项式为
,
所以,的特征值是(二重)与.
对于,解齐次线性方程组
,
求得它的一个基础解系为
, .
先正交化:
,
.
再单位化:
, .
对于,解齐次线性方程组
,
求得它的一个基础解系为.
再单位化得:.
令 ,则是正交矩阵,而且.
于是令,即
.
得 .
例6 判断下列二次型的正定性：
（1）
（2）
解：（1）由于的表达式中只含有二次项，所以对于任意一个非零向量总有
。根据定义可得为正定二次型。
（2）对，先写出二次型的矩阵，再求的特征值。由得正定性退出的
正定性。二次型f的矩阵为
令，得的特征值为
的特征值均为正正定二次型正定。
例7用不同的方法判别
是否正定.
解法1：惯性指数法
为下列二次型的矩阵
.
令
.
则得标准形
.
由上述线性方程组可得,由到的线性替换为
.
显然它是可逆线性替换.于是由标准形可知,,为正定二次型,其矩阵正定.
解法2：顺序主子式法
的各阶顺序主子式为
, ,
所以正定.
解法3：特征值法
的特征多项式
.
特征值,均为正数,所以正定.
注：判断二次型是否正定,要灵活应用所学的方法,当有可能用顺序主子式时,可采用它,此法一般比较简单.当二次型的矩阵的特征值容易求时,这时用此法较好.还可用配方法将二次型化为标准形来判定.
例8 设二次型,问取何值时,为正定二次型?
解用顺序主子式讨论.
因为
,
则
, ,
.
解不等式组
,
得 .
例9 设为阶实对称矩阵，且，证明：为正定矩阵
证：设是的特征值，只要证明即可。因为是的特征值，所以
为其对应的特征向量。
由题设，两边乘以，有
因为，所以即，由此可知为
的特征值，且全大于零，所以为正定矩阵。
例10设是阶正定阵,是阶单位阵,证明:的行列式大于1.
证设的特征值为,则的特征值为.
因是正定阵,所以,所以的特征值,于是
.
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